On the effective generation of direct images of pluricanonical bundles in mixed characteristic

Résumé technique : Sur la génération effective des images directes des fibrés pluricanoniques en caractéristique mixte

Énoncé du problème
L'article aborde le problème de l'établissement de résultats de génération globale effective pour les images directes des fibrés pluricanoniques en caractéristique mixte. Plus précisément, il vise un analogue en caractéristique mixte de deux résultats majeurs :

1. Caractéristique zéro : Le théorème de Popa et Schnell [PS14], qui prouve que pour un morphisme surjectif $f: X \to Y$ entre variétés projectives non singulières sur $\mathbb{C}$, l'image directe $f_* \omega_X^{\otimes m} \otimes L^{\otimes l}$ est globalement générée pour $l \geq m(\dim Y + 1)$, où $L$ est un fibré en droites ample sur $Y$.
2. Caractéristique positive : Le théorème d'Ejiri [Eji24], qui établit un résultat similaire sous l'hypothèse que $m$ est suffisamment grand et que le diviseur canonique est relativement ample, notant que la borne en caractéristique zéro échoue en caractéristique positive sans hypothèses supplémentaires (par exemple, en raison de contre-exemples de Moret-Bailly).

Le défi central en caractéristique mixte réside dans l'absence d'un morphisme de Frobenius direct et dans la complexité des singularités, nécessitant l'adaptation de techniques issues de l'algèbre commutative et de la théorie des idéaux de test.

Méthodologie
L'auteur emploie un cadre basé sur les idéaux de test $+$ et les clôtures intégrales absolues, développés récemment par Hacon, Lamarche et Schwede [HLS24] et Bhatt et al. [BMP+23]. La méthodologie implique :

1. Images directes relatives $+$-stables : L'article généralise la définition de l'idéal de test $+$-stable $\tau_+(\mathcal{O}_X, \Delta)$ au cadre relatif. Il définit un sous-faisceau $B^0 f_*(\tau_+(\omega_X, \Delta) \otimes M) \subset f_*(\omega_X \otimes M)$, qualifié d'image directe $+$-stable. Cela sert d'analogue en caractéristique mixte de l'image directe $S^0$ stable par Frobenius utilisée en caractéristique positive.
2. Théorèmes d'annulation : Les preuves reposent fortement sur le théorème d'annulation de Bhatt [BMP+23] pour la cohomologie sur la clôture intégrale absolue $X^+$, qui remplace le rôle de l'annulation de Kodaira en caractéristique zéro et de l'annulation de Serre en caractéristique positive.
3. Astuce du produit fibré : Pour établir des résultats de positivité faible, l'auteur utilise l'astuce du produit fibré de Viehweg, construisant des produits fibrés $X^{(l)} = X \times_Y \cdots \times_Y X$ et analysant le comportement des fibrés pluricanoniques sous ces constructions.
4. Conditions de singularité : Les résultats imposent des conditions spécifiques sur les singularités de la variété source $X$. En caractéristique mixte, ces conditions impliquent la régularité BCM (régularité de Cohen-Macaulay Big) pour les points de caractéristique résiduelle $p$ et les conditions Kawamata Log Terminal (KLT) pour les points de caractéristique résiduelle 0.

Contributions et résultats clés

• Théorème A (Théorème principal) : Il s'agit du résultat principal, fournissant un théorème de génération globale effective pour les images directes des fibrés pluricanoniques en caractéristique mixte.

  • Cadre : Soit $f: X \to Y$ une surjection entre schémas projectifs plats intègres sur un anneau de valuation discrète complet $(R, \mathfrak{m}_R)$ de caractéristique mixte $(0, p)$. Soit $\Delta$ un diviseur $\mathbb{Q}$ effectif tel que $K_X + \Delta$ soit $\mathbb{Q}$-Cartier.
  • Hypothèses : La restriction $(K_X + \Delta)|_U$ est $f|_U$-ample, et la paire satisfait des conditions spécifiques de singularité (régularité BCM en caractéristique $p$, KLT en caractéristique 0) sur un ouvert $U \subset X$.
  • Conclusion : Pour des multiples $m$ suffisamment grands de l'indice de $K_X + \Delta$, et pour $l \geq m(n+1)$ (où $n = \dim Y_{\mathfrak{m}_R}$), le faisceau $f_* \mathcal{O}_X(m(K_X + \Delta)) \otimes L^{\otimes l}$ est globalement généré sur $V = f(U)$.
  • Signification : Cela unifie et étend les résultats de Popa-Schnell et Ejiri au cadre de la caractéristique mixte.

• Théorème C (Lemme clé) : Un théorème de génération globale pour l'image directe $+$-stable $B^0 f_*(\tau_+(\omega_X, B) \otimes M)$. Ce résultat généralise [HLS24, Théorème B] au cadre relatif et constitue le moteur technique du Théorème A. Il énonce que si $-B$ est semi-ample et gros sur un ouvert, l'image directe $+$-stable tordue est globalement générée.

• Théorème B (Positivité faible) : En tant qu'application, l'article établit une affirmation de positivité faible pour le faisceau canonique relatif. Sous des hypothèses de lissité et des conditions de singularité légères, $K_{X/Y} + \Delta$ est montré comme étant faiblement positif sur $U$. Il s'agit d'un analogue en caractéristique mixte du théorème de positivité faible de Viehweg.

• Corollaires sur la génération globale :

  • L'article déduit que $f_* \mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta)) \otimes \omega_Y \otimes L^{\otimes (n+1)}$ est globalement généré, analogue au théorème de Fujino en caractéristique zéro et à celui d'Ejiri en caractéristique positive.
  • Il fournit des conditions sous lesquelles $f_* \omega_X \otimes L^{\otimes l}$ est globalement généré pour $m=1$, sous réserve que les singularités de $X$ satisfont des conditions spécifiques (par exemple, singularités de somme finie ou régularité BCM).

• Positivité des diviseurs anticanoniques : L'article prouve que la descente lisse de la positivité du diviseur anticanonique vaut en caractéristique mixte (Proposition 6.8). Plus précisément, si $-K_X - f^*N$ est nef (ou ample), alors $-K_Y - N$ est également nef (ou ample).

Signification et affirmations
L'article prétend fournir les premiers résultats de génération globale effective pour les images directes des fibrés pluricanoniques en caractéristique mixte, comblant un vide entre les théories en caractéristique zéro et en caractéristique positive.

• Il démontre que l'outillage des idéaux de test $+$ et des clôtures intégrales absolues est suffisamment robuste pour gérer les cadres relatifs et l'arithmétique en caractéristique mixte.
• Les résultats sont présentés comme des analogues en caractéristique mixte de théorèmes établis par Popa, Schnell, Ejiri et Fujino, plutôt que comme des phénomènes entièrement nouveaux, bien que les conditions sur les singularités (régularité BCM) soient spécifiques au contexte de la caractéristique mixte.
• L'auteur note que si le résultat de positivité faible (Théorème B) est plus faible que la pleine positivité faible du faisceau image directe lui-même, il est suffisant pour de nombreuses applications, y compris la preuve de la génération globale de l'image directe tordue et la descente de la positivité anticanonique.

L'article ne prétend pas résoudre la conjecture générale de liberté de Fujita en caractéristique mixte, mais se concentre sur le cas spécifique des images directes des fibrés pluricanoniques, s'appuyant sur des développements récents en algèbre commutative (spécifiquement les travaux de Bhatt, Ma, Schwede et d'autres) pour surmonter l'absence de théorèmes d'annulation disponibles en caractéristique zéro.