Singular systems of linear forms over global function fields

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de l'approximation diophantienne et de la dynamique homogène. Le problème central est l'étude des systèmes singuliers de formes linéaires dans le contexte des corps de fonctions globaux (global function fields).

• Définition de la singularité : Une matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ est dite singulière si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un seuil $T_0$ tel que pour tout $T \ge T_0$, il existe des vecteurs entiers $p \in \mathbb{Z}^m$ et $q \in \mathbb{Z}^n$ satisfaisant $\|Aq + p\| \le \epsilon T^{-n/m}$ et $0 < \|q\| \le T$.
• Contexte historique : En 1926, Khintchine a montré que l'ensemble de ces matrices a une mesure de Lebesgue nulle. La question de la dimension de Hausdorff de cet ensemble est restée ouverte pendant des décennies. Des résultats récents (Das, Fishman, Simmons, Urbański [DFSU24]) ont établi que pour les corps de nombres réels, la dimension de Hausdorff de l'ensemble des matrices singulières $m \times n$ est exactement $mn - \frac{mn}{m+n}$.
• Lacune dans la littérature : Alors que le cas des corps de nombres (réels) est bien compris, les résultats sur les ensembles singuliers dans les corps de fonctions globaux sont rares. L'objectif de cet article est de combler cette lacune en prouvant une borne supérieure pour la dimension de Hausdorff dans ce contexte non archimédien.

2. Cadre Mathématique et Hypothèses

Les auteurs travaillent sur un corps de fonctions global $K$ défini sur un corps fini $\mathbb{F}_q$.

• Structure locale : Ils fixent une valuation discrète $\nu$ sur $K$, notant $K_\nu$ le complété (un corps de séries de Laurent) et $O_\nu$ son anneau de valuation.
• Anneau de base : $R_\nu$ est l'algèbre affine de la courbe privée du point correspondant à $\nu$. L'article fait l'hypothèse cruciale que $R_\nu$ est un anneau à idéaux principaux (PID). Cette hypothèse est nécessaire pour utiliser la sous-modularité de la fonction de covolume établie dans un travail antérieur de Bang [Bang25].
• Dynamique homogène : Le problème est traduit en dynamique homogène via la correspondance de Dani. L'ensemble des matrices singulières correspond aux trajectoires divergentes (qui quittent tout compact) de l'action d'un flot diagonal $g_t$ sur l'espace des réseaux unimodulaires $X = G/\Gamma$, où $G = SL_{m+n}(K_\nu)$ et $\Gamma = SL_{m+n}(R_\nu)$.

3. Méthodologie

La stratégie de preuve suit l'approche développée par Kleinbock, Lindenstrauss, et Margulis (et adaptée par Das et al. [KKLM17] pour le cas réel), mais avec des adaptations techniques majeures pour le contexte non archimédien.

A. Correspondance de Dani et Dynamique

L'approche repose sur l'identification de la singularité d'une matrice $s$ avec le fait que la trajectoire $\{g_t u_s \Gamma\}_{t \ge 1}$ s'échappe vers l'infini dans l'espace homogène $X$. Pour estimer la dimension de Hausdorff, les auteurs construisent une fonction de hauteur (Margulis function) qui décroît en moyenne le long de ces trajectoires.

B. Construction de la Fonction de Margulis

L'outil central est la construction d'une fonction $\Psi(x) = \sum \omega_i \alpha_i(x)^{\beta_i}$, où $\alpha_i(x)$ mesure la "petitesse" des sous-espaces rationnels de dimension $i$ dans le réseau $x$.

• Contraction linéaire : La première étape consiste à prouver une propriété de contraction au niveau de l'algèbre linéaire (Proposition 3.1). Cela implique d'estimer l'intégrale de la norme d'un vecteur décomposable sous l'action du flot $g_t$ moyennée sur le groupe des matrices $M_{m,n}(O_\nu)$.
• Mesure de Haar vs Mesure Gaussienne : Dans le cas réel [KKLM17], on utilise des variables aléatoires gaussiennes pour simplifier les calculs d'intégrales. Ici, les auteurs utilisent la mesure de Haar restreinte sur $O_\nu$. Ils démontrent que les propriétés analogues à celles de la mesure gaussienne (notamment les estimations de moments) tiennent toujours pour la mesure de Haar sur les modules $O_\nu$ (Théorème 3.2, Lemmes 3.3-3.6).
• Dualité de Hodge : Une difficulté technique majeure est que l'opérateur de dualité de Hodge n'est pas équivariant sous le groupe orthogonal ultramétrique $SL_d(O_\nu)$ comme c'est le cas en réel. Les auteurs contournent cela en utilisant la dualité sur les sous-groupes horosphériques et en prouvant des propriétés de conservation de la décomposabilité (Lemme 4.2).

C. Estimations de Recouvrement

Une fois la fonction de Margulis construite et la propriété de contraction établie (Corollaire 5.2), les auteurs utilisent des estimations de recouvrement (Proposition 6.1 et Théorème 6.4) pour borner la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points qui "s'échappent en moyenne" (escaping on average).

4. Résultats Principaux

Le résultat principal est énoncé dans le Théorème 1.1 :

Théorème 1.1 : Sous l'hypothèse que $R_\nu$ est un anneau à idéaux principaux, pour tout $m, n \ge 1$, la dimension de Hausdorff de l'ensemble des matrices singulières $Sing(m, n)$ dans $M_{m,n}(K_\nu)$ vérifie :
$$\dim_H Sing(m, n) \le mn - \frac{mn}{m+n}$$

Ce résultat est renforcé par la Proposition 6.5, qui établit une borne pour l'ensemble des points qui s'échappent en moyenne avec un taux $\delta$ :
$$\dim_H \{ s \in M_{m,n}(K_\nu) : usx \text{ s'échappe en moyenne avec taux } \delta \} \le mn - \delta \frac{mn}{m+n}$$

5. Contributions Techniques Clés

1. Adaptation de la mesure : Le remplacement de la mesure gaussienne par la mesure de Haar restreinte dans un contexte non archimédien, avec la preuve rigoureuse que les estimations d'intégrales nécessaires (Théorème 3.2) restent valables.
2. Gestion de la dualité de Hodge : La démonstration que la dualité de Hodge préserve la décomposabilité et permet de relier les cas $i \le m$ et $i > m$ malgré le manque d'équivariance sous $SL_d(O_\nu)$.
3. Utilisation de la sous-modularité : L'application de la sous-modularité de la fonction de covolume (valable sous l'hypothèse PID) pour gérer les cas où plusieurs sous-espaces rationnels interagissent lors de l'échappement.
4. Extension au cas des corps de fonctions : La première preuve systématique d'une borne supérieure pour la dimension de Hausdorff des systèmes singuliers dans le cadre des corps de fonctions globaux, confirmant que la formule conjecturée (et prouvée pour $\mathbb{R}$) s'applique également ici.

6. Signification et Impact

• Complétude théorique : Cet article comble un vide important dans la théorie de l'approximation diophantienne en étendant les résultats les plus récents sur la dimension de Hausdorff des ensembles singuliers du cas archimédien ($\mathbb{R}$) au cas non archimédien (corps de fonctions).
• Robustesse des méthodes : Il démontre la robustesse de la méthode de Margulis et de la correspondance de Dani, montrant qu'elles peuvent être adaptées avec succès aux géométries non archimédiennes, à condition de maîtriser les subtilités des mesures et de la dualité algébrique dans ce contexte.
• Limites et perspectives : La dépendance à l'hypothèse que $R_\nu$ est un PID est une contrainte technique actuelle. La question de savoir si ce résultat tient pour des anneaux de Dedekind généraux (où le groupe des classes d'idéaux est non trivial) reste ouverte, bien que les auteurs suggèrent que la méthode pourrait être généralisée.

En conclusion, cet article fournit une preuve rigoureuse que la dimension de Hausdorff des systèmes singuliers de formes linéaires sur les corps de fonctions globaux (de classe de nombre 1) est bornée supérieurement par la même formule que dans le cas réel, consolidant ainsi l'universalité de ce phénomène diophantien.