Measure theoretic properties of large products of consecutive partial quotients

Résumé technique de « Measure Theoretic Properties of Large Products of Consecutive Partial Quotients »

Énoncé du problème
L'article étudie les propriétés de la théorie de la mesure et les propriétés fractales d'ensembles de nombres irrationnels définis par le comportement des produits de quotients partiels consécutifs dans leurs développements en fractions continues régulières. Plus précisément, pour une fonction non décroissante $\phi: \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\ge 2}$ et un entier fixé $\ell \ge 1$, les auteurs étudient l'ensemble $F_\ell(\phi)$ constitué des nombres irrationnels $x \in [0,1)$ tels que, pour une infinité de $n$, il existe deux indices distincts $1 \le j < k \le n$ où les produits de $\ell$ quotients partiels consécutifs commençant à $j$ et $k$ dépassent tous deux $\phi(n)$ :
$$a_j(x)\cdots a_{j+\ell-1}(x) \ge \phi(n) \quad \text{et} \quad a_k(x)\cdots a_{k+\ell-1}(x) \ge \phi(n).$$
Ce problème étend les travaux précédents sur les quotients partiels uniques ($E_1(\phi)$) et les produits de deux quotients consécutifs ($E_2(\phi)$), ainsi que les résultats récents concernant l'existence de deux blocs importants ($F_1(\phi)$ et $F_2(\phi)$). Le défi central abordé est de déterminer la mesure de Lebesgue et la dimension de Hausdorff de $F_\ell(\phi)$ pour tout $\ell \ge 2$ arbitraire, en traitant particulièrement les interactions complexes découlant des chevauchements de blocs de quotients partiels.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de la théorie ergodique, de la dynamique des fractions continues et de la théorie analytique des nombres.

1. Analyse de la mesure de Lebesgue :

   • Cas de convergence : Pour prouver que $m(F_\ell(\phi)) = 0$ lorsqu'une série spécifique converge, les auteurs utilisent le lemme de Borel-Cantelli. Ils estiment la mesure des ensembles où la condition est satisfaite à l'étape $n$ en décomposant le problème selon la distance entre les deux blocs de longueur $\ell$.
   • Cas de divergence : Pour prouver que $m(F_\ell(\phi)) = 1$ lorsque la série diverge, ils emploient l'inégalité de Chung-Erdős pour établir une borne inférieure de la mesure de l'ensemble limsup. Une étape cruciale consiste à montrer que l'ensemble intersecte une large portion de chaque intervalle fondamental, permettant l'application du lemme de Knopp.
   • Outil technique clé : La preuve repose fortement sur de nouvelles estimations de séries impliquant des produits de quotients partiels dans des blocs se chevauchant, ce qui rend compte de la complexité combinatoire des chevauchements de longueurs allant de $0$à$\ell-1$. Le Théorème 3.4 fournit des bornes asymptotiques pour des sommes de la forme $\sum \frac{1}{a_1^2 \cdots a_r^2 b_1^2 \cdots b_j^2 c_1^2 \cdots c_r^2}$ soumises à des contraintes de produit, tenant compte de la complexité combinatoire des chevauchements.

2. Analyse de la dimension de Hausdorff :

   • Les auteurs utilisent le formalisme thermodynamique de l'application de Gauss $T$. La dimension est caractérisée via la fonction de pression $P(T, \psi)$, où le potentiel $\psi$ dépend du taux de croissance de $\phi$ (noté $B_\phi$) et du paramètre de dimension $s$.
   • Borne inférieure : Construite en définissant un sous-ensemble de type Cantor $S_\ell$ au sein de $F_\ell(\phi)$ avec des contraintes spécifiques sur les quotients partiels. Le principe de distribution de masse est appliqué, et la dimension est maximisée sur une famille de paramètres $(x,y)$ représentant la distribution des taux de croissance parmi les blocs.
   • Borne supérieure : Établie par la construction de recouvrements efficaces de l'ensemble $F_\ell(\phi)$. L'ensemble est partitionné en sous-ensembles basés sur la longueur du chevauchement entre les deux blocs de produits importants (par exemple, aucun chevauchement, chevauchement de longueur 1, etc.). Pour chaque sous-ensemble, les auteurs dérivent des bornes supérieures sur la mesure de Hausdorff $s$-dimensionnelle en sommant les diamètres des intervalles de recouvrement élevés à la puissance $s$, en utilisant des estimations issues du Lemme 3.9 et du Lemme 3.10.

Contributions et résultats clés

1. Généralisation des résultats de mesure de Lebesgue (Théorème 1.5) :
   L'article détermine la mesure de Lebesgue de $F_\ell(\phi)$ pour tout $\ell \ge 2$. La mesure est 0 ou 1 selon la convergence ou la divergence de la série :
   $$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n \log^{2(\ell-1)} \phi(n)}{\phi^2(n)} + \frac{\log^{\ell-2} \phi(n)}{\phi(n)} \right).$$
   Le premier terme correspond aux blocs non chevauchants, tandis que le second terme rend compte des blocs chevauchants. Ceci généralise le Théorème 1.3 ($\ell=1$) et le Théorème 1.4 ($\ell=2$).

2. Calcul de la dimension de Hausdorff pour $\ell=3$ (Théorème 1.10) :
   Les auteurs calculent explicitement la dimension de Hausdorff de $F_3(\phi)$. Pour $1 < B_\phi < \infty$, la dimension est donnée par :
   $$\dim_H F_3(\phi) = \inf \{ s \ge 0 : P(T, -g(s)\log B_\phi - s \log |T'|) \le 0 \},$$
   où $g(s) = \frac{3s^3 - 5s^2 + 4s - 1}{s^2 - s + 1}$. Ce résultat étend les formules connues pour $\ell=1$ et $\ell=2$.

3. Implications pour les lois fortes des grands nombres :
   Une conséquence du résultat de mesure est que la loi forte des grands nombres pour les produits de $\ell$ quotients partiels consécutifs échoue même si le bloc possédant le produit le plus élevé est retiré. Plus précisément, pour presque tout $x$, la limite supérieure de la somme normalisée (moins le terme maximum) est infinie.

Signification et affirmations
L'article affirme que le Théorème 1.5 est une « étape cruciale » vers l'extension des lois des grands nombres pour les sommes de produits de quotients partiels à un $\ell$ arbitraire. Les auteurs conjecturent qu'avec ces outils de théorie de la mesure, on peut prouver que pour presque tout $x$ :
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \log^\ell n} \left( \sum_{j=1}^n a_j(x)\cdots a_{j+\ell-1}(x) - \max_{1 \le k \le n} a_k(x)\cdots a_{k+\ell-1}(x) \right) = \frac{1}{\ell \log 2}.$$
Les auteurs notent également que les techniques de preuve du Théorème 1.10 semblent adaptables pour calculer $\dim_H F_\ell(\phi)$ pour $\ell \ge 4$, bien qu'ils ne fournissent pas la formule récursive explicite du potentiel dans cet article. Le travail est présenté comme une étape fondamentale pour comprendre le comportement statistique des grands produits dans les fractions continues, distinguant les ensembles de mesure nulle via la dimension de Hausdorff et établissant l'impossibilité de certaines lois fortes des grands nombres.