A counterexample for pointwise upper bounds on Green's function with a singular drift at boundary

Résumé Technique : Un Contre-exemple pour les Bornes Supérieures Ponctuelles de la Fonction de Green avec un Dérive Singulière à la Frontière

Énoncé du Problème
Cet article traite du comportement de la fonction de Green associée à une séquence d'opérateurs elliptiques $L_m = -\nabla \cdot (\nabla u) + B_m \cdot \nabla u$ définis sur la boule unité $\Omega = B(0, 1) \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$). L'accent est mis sur les opérateurs où le terme de dérive $B_m$ diverge selon l'inverse de la distance à la frontière, se comportant spécifiquement comme $C/(1-|x|)$ près de $\partial \Omega$.

Bien que des bornes supérieures et inférieures ponctuelles pour les fonctions de Green soient bien établies pour les opérateurs avec des dérives bornées ou des dérives bornées par $\epsilon/\delta(x)$ (où $\epsilon$ est suffisamment petit), le comportement pour des dérives possédant une constante $C$ plus grande reste un point de controverse. Le présent article cible spécifiquement une affirmation de Hofmann et Lewis concernant l'existence d'estimations supérieures uniformes pour ces dérives singulières dans le cadre elliptique.

Méthodologie
L'auteur construit une séquence spécifique de contre-exemples en utilisant une dérive radiale $B_m$ définie comme :
B_m = \begincases} -\frac{C}{1-|r|} \hat{r} & \text{si } |r| \leq 1 - \frac{1}{m} \\ -C_m \hat{r} & \text{si } 1 - \frac{1}{m} < |r| < 1 \end{cases}
où $C \geq 1$ est une constante arbitraire et $C_m$ est choisie pour assurer la continuité ou un comportement spécifique dans la couche limite. Lorsque $m \to \infty$, cette séquence approxime une dérive $B(x)$ satisfaisant $|B(x)| \leq C/\delta(x)$.

La méthodologie procède en trois étapes principales :

1. Réduction par Symétrie : L'auteur démontre que pour le pôle spécifique à l'origine, la fonction de Green $G_m(x, 0)$ dépend uniquement de la variable radiale $r = |x|$. Cela réduit l'équation aux dérivées partielles en une équation différentielle ordinaire (EDO) dans la coordonnée radiale.
2. Établissement de Bornes Inférieures : En utilisant des arguments similaires à ceux de la littérature existante (se référant spécifiquement à [2]), l'article établit une borne inférieure uniforme pour la fonction de Green dans la région intérieure. Il est démontré que $G_m(y, z) \geq c_0 |z-y|^{-(n-2)}$ pour des points suffisamment proches les uns des autres et éloignés de la frontière, où la constante $c_0$ est indépendante de $m$. Cela repose sur l'inégalité de Harnack et une estimation minutieuse de l'effet du terme de dérive au sein d'anneaux éloignés de la frontière.
3. Intégration Explicite et Analyse de Divergence : En résolvant l'EDO radiale explicitement à l'aide d'un facteur intégrant, l'auteur dérive une expression de la dérivée de la fonction de Green. La solution est intégrée d'un point proche de la frontière vers le centre (évaluant spécifiquement en $x = (1/2, 0, \dots, 0)$). L'analyse distingue la région où la dérive suit la loi de l'inverse de la distance et la couche limite où elle est tronquée.

Résultats Clés
Le résultat central, le Théorème 2, démontre que pour l'opérateur défini avec $C=1$, la valeur de la fonction de Green au point $(1/2, 0, \dots, 0)$ avec un pôle à l'origine diverge vers l'infini quand $m \to \infty$ :
$$\lim_{m \to \infty} G_m\left(\frac{1}{2}, 0, \dots, 0; 0\right) = \infty$$
La preuve repose sur le fait que, bien que la borne inférieure reste uniforme, la borne supérieure échoue. L'intégration explicite montre que le terme impliquant l'exponentielle de l'intégrale de la dérive croît sans limite lorsque $m$ augmente, spécifiquement à cause de la contribution de la couche limite où la dérive est tronquée en $C_m$.

Par conséquent, l'article établit que les estimations supérieures ponctuelles uniformes pour la fonction de Green n'existent pas pour cette classe de dérives singulières lorsque la constante $C$ n'est pas suffisamment petite.

De plus, l'article note que si la constante $C$ dans la dérive est choisie pour être suffisamment petite (spécifiquement $C < 1$ dans le contexte de l'exemple construit, ou généralement $\epsilon(\Omega)$ selon [9]), les bornes supérieures ponctuelles attendues sont récupérées. Cela met en évidence un seuil critique dans le comportement des solutions basé sur la magnitude de la dérive singulière.

Enfin, l'auteur observe que dans la limite $m \to \infty$, la solution du problème de Poisson-Dirichlet avec des données bornées (par exemple, $f = \mathbf{1}_{B(1/2, \epsilon)}$) cesse d'être bien définie dans $W^{1,2}(B(0, 1))$, car les valeurs de la solution divergent vers l'infini partout dans un voisinage de l'origine.

Conclusion
L'article conclut que pour les opérateurs elliptiques dont les dérives divergent selon l'inverse de la distance à la frontière, des bornes supérieures uniformes sur la fonction de Green ne peuvent être garanties si le coefficient de dérive dépasse un certain seuil. Ce résultat corrige la littérature concernant la validité de l'extension des estimations paraboliques au cadre elliptique pour de tels coefficients singuliers.