Conditional upper bounds on the least character non-residue

1. Problématique et Contexte

Le papier s'intéresse à la détermination de bornes supérieures pour le plus petit non-résidu caractéristique $n(\chi)$ d'un caractère de Dirichlet non principal $\chi$ modulo $q$. Ce nombre est défini comme le plus petit entier positif $n$ tel que $(n, q)=1$ et $\chi(n) \neq 1$.

• Conjecture de Vinogradov : Pour les caractères quadratiques, cette conjecture postule que $n(p) \ll p^\epsilon$ pour tout $\epsilon > 0$.
• Résultats inconditionnels : Les résultats de Burgess (1962) établissent une borne effective de l'ordre de $q^{1/4+\epsilon}$ pour $q$ sans facteur cube.
• Résultats conditionnels (GRH) : Sous l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH), on sait que $n(\chi) \ll (\log q)^2$.
• Lien avec les zéros : Il existe une corrélation étroite entre la taille des sommes de caractères (ou la taille de $n(\chi)$) et la distribution des zéros des fonctions $L(s, \chi)$ dans la bande critique. Si les sommes de caractères sont anormalement grandes, cela implique l'existence de zéros proches de la ligne $\sigma = 1$.

L'objectif de l'auteur est d'établir des bornes supérieures conditionnelles sur $n(\chi)$ en fonction de régions sans zéros spécifiques dans la bande critique, en particulier des rectangles bornés le long de la ligne $\sigma=1$ à des hauteurs arbitraires $t_0$.

2. Méthodologie

L'auteur utilise des techniques analytiques avancées de la théorie des nombres, principalement basées sur la transformée de Mellin inverse et l'analyse des intégrales de contour.

• Fonctions de poids et noyaux :

  • Pour le Théorème 2, l'auteur utilise une fonction de poids linéaire simple $(x-n)$ appliquée à la somme $\sum \chi(n)\Lambda(n)$.
  • Pour le Théorème 3 (plus fort), il construit un noyau spécifique $K(s, t_0)$ via une fonction de poids $w(u)$ dépendant d'un paramètre $t_0$. Ce noyau est conçu pour isoler les contributions des zéros proches d'une hauteur spécifique $t_0$.
  • La fonction de poids est définie sur un intervalle $(x/y^2, xy^2)$ et permet de pondérer les termes de la somme pour maximiser la contribution du résidu principal tout en minimisant l'erreur liée aux zéros.

• Déplacement de contour :

  • L'expression de la somme pondérée est écrite comme une intégrale complexe impliquant la dérivée logarithmique $L'/L(s, \chi)$.
  • Le contour d'intégration est déplacé de la droite $\sigma_0 > 1$ vers la gauche (jusqu'à $\sigma = -1 + \theta$).
  • Ce déplacement fait apparaître :
    1. Le résidu en $s=1$ (pour le caractère principal) ou l'absence de résidu (pour les caractères non principaux).
    2. Une somme sur les zéros non triviaux $\rho = \beta + i\gamma$ de $L(s, \chi)$.
    3. Une intégrale sur le nouveau contour, qui est bornée grâce aux estimations standards de $L'/L$.

• Hypothèses sur les régions sans zéros :

  • L'analyse repose sur des hypothèses de type « quasi-GRH » : l'absence de zéros dans des régions spécifiques (bandes infinies ou rectangles) près de la ligne $\sigma=1$.
  • L'auteur utilise des bornes sur le nombre de zéros dans des disques ou des rectangles (Lemmes 4 et 5, basés sur les travaux de Montgomery) pour estimer la somme des contributions des zéros.

3. Résultats Principaux

L'article présente deux théorèmes majeurs reliant la taille de $n(\chi)$ à la largeur et à la position des régions sans zéros.

Théorème 2 : Région sans zéros en bande infinie

Si $L(s, \chi) \neq 0$ dans la région $R''(\delta) = \{ \sigma + it : 1-\delta < \sigma < 1 \}$ (une bande infinie à droite de $1-\delta$), alors :
$$n(\chi) \ll (\log q)^{1/\delta}$$
Ce résultat généralise les méthodes d'Ankeny et montre que même une région sans zéros de largeur $\delta$ (aussi petite soit-elle) suffit pour obtenir une borne polynomiale en $\log q$.

Théorème 3 : Région sans zéros localisée (Rectangle)

C'est le résultat le plus fort et le plus original. Il permet de cibler des zéros à des hauteurs spécifiques $t_0$.
Soit $|t_0| > 1$ et $\delta$ tel que $\frac{1}{\log(|t_0|+4)} \le \delta \le \frac{1}{2}$.
Si $L(s, \chi) \neq 0$ dans le rectangle défini par :
$$1-\delta < \sigma < 1 \quad \text{et} \quad |t - t_0| \le K_1 |t_0|^2 \log q$$
Alors :
$$n(\chi) < C \left( \frac{K_1 |t_0|^2 \log q}{\delta} \right)^{1/\delta}$$
Implication clé : Si le plus petit non-résidu dépasse cette borne, cela force l'existence d'un zéro de $L(s, \chi)$ dans ce rectangle spécifique. Cela permet de « localiser » les zéros potentiels qui violeraient la conjecture de Vinogradov.

4. Contributions Clés

1. Généralisation des régions sans zéros : Contrairement aux résultats classiques qui supposent souvent une absence de zéros sur toute la bande critique ou sur des bandes symétriques par rapport à $\sigma=1/2$, ce papier traite des régions asymétriques et localisées en hauteur ($t_0$).
2. Technique de noyau pondéré : L'adaptation de la méthode de Rodosskii avec un noyau dépendant de $t_0$ permet de « filtrer » les zéros loin de l'axe réel et de se concentrer sur des hauteurs spécifiques.
3. Lien quantitatif : Établissement d'une relation précise entre la largeur $\delta$ de la région sans zéros, la hauteur $t_0$, et la borne sur $n(\chi)$.
4. Extension des travaux antérieurs : Le papier étend les résultats de Granville, Soundararajan, et Heath-Brown sur la relation entre les grandes sommes de caractères et la position des zéros.

5. Signification et Perspectives

• Signification théorique : Ces résultats renforcent la compréhension de la structure fine des fonctions $L$. Ils montrent que la violation de la conjecture de Vinogradov n'est pas seulement liée à l'existence de zéros près de $\sigma=1$, mais spécifiquement à l'existence de zéros dans des rectangles très précis à des hauteurs données.
• Optimalité : L'auteur note que si l'on choisit $\delta$ très petit (proche de 0), la borne sur $n(\chi)$ redevient moins optimale, se rapprochant des bornes classiques inconditionnelles. Cependant, pour des $\delta$ fixes, la borne est très forte.
• Directions futures : La section finale suggère d'appliquer ces techniques à des régions sans zéros plus complexes, où la largeur de la région sans zéros $\delta_i$ et la distance verticale $K_i$ varient en fonction de la hauteur des zéros (suites $\delta_i \to 0$ et $K_i \to \infty$). Cela pourrait mener à des résultats plus fins sur la distribution des zéros de $L(s, \chi)$.

En résumé, ce papier fournit un cadre analytique robuste pour convertir des hypothèses géométriques sur la distribution des zéros des fonctions $L$ en bornes effectives sur les non-résidus caractéristiques, offrant ainsi un outil puissant pour tester la validité de la conjecture de Vinogradov et l'hypothèse de Riemann généralisée.