Quadrature error estimates on non-matching grids in a fictitious domain framework for fluid-structure interaction problems

Résumé Technique : Estimations de l'erreur de quadrature sur des maillages non appariés dans un cadre de domaine fictif pour les problèmes d'interaction fluide-structure

Énoncé du problème
L'article traite de la discrétisation numérique de problèmes d'interaction fluide-structure (IFS) utilisant une formulation de domaine fictif basée sur des multiplicateurs de Lagrange distribués. Dans ce cadre, le fluide et le solide sont discrétisés à l'aide de deux maillages complètement indépendants et non appariés. Le solide est décrit dans un cadre lagrangien sur un domaine de référence $B$, projeté dans sa position actuelle au sein d'un domaine eulérien de fluide fixe $\Omega$. Le couplage cinématique entre la vitesse du fluide et la déformation du solide est imposé via un multiplicateur de Lagrange $\lambda$ défini sur le domaine de référence du solide.

Un défi computationnel critique réside dans l'assemblage de la matrice de couplage (d'interface). Cette matrice nécessite l'intégration du produit des fonctions de base du fluide (composées avec le mappage du solide) et des fonctions de base du solide sur les éléments du solide. Puisque ces fonctions sont définies sur des maillages non appariés, une intégration exacte nécessite de calculer l'intersection géométrique entre le maillage du fluide et le maillage du solide projeté afin de construire une règle de quadrature composée. Ce processus est coûteux en termes de calcul, particulièrement parce que le terme de couplage doit être assemblé à chaque pas de temps. Alternativement, une approche approximative intègre directement sur les éléments du solide en utilisant des règles de quadrature standards sans intersection de maillage, ce qui introduit une erreur de quadrature. L'article étudie la validité théorique et les estimations d'erreur associées à cette stratégie d'intégration approximative.

Méthodologie
Les auteurs analysent un modèle d'IFS stationnaire basé sur les équations de Stokes, tout en notant que leurs résultats sont représentatifs de cas non linéaires plus généraux. La formulation variationnelle consiste à trouver la vitesse du fluide $u$, la pression $p$, le plan de déformation du solide $X$, et le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ satisfaisant un système de points-selle.

L'étude se concentre sur deux choix spécifiques pour la forme bilinéaire $c(\cdot, \cdot)$ utilisée pour définir le couplage :

1. $c_0$ (appariement dual) : Basée sur le produit scalaire $L^2(B)$, où l'espace du multiplicateur est le dual de $H^1(B)$.
2. $c_1$ (produit scalaire) : Basée sur le produit scalaire $H^1(B)$, où l'espace du multiplicateur est $H^1(B)$ lui-même.

La méthodologie procède par les étapes suivantes :

• Discrétisation : Des espaces d'éléments finis sont introduits pour toutes les variables. Le fluide utilise l'élément de Bercovier–Pironneau ($P1$-iso-$P2/P1$), tandis que le mappage du solide et le multiplicateur utilisent des éléments continus par morceaux de degré un.
• Intégration approximative : Les auteurs définissent des formes bilinéaires discrètes où les termes de couplage sont calculés en utilisant des règles de quadrature standards sur le maillage du solide, ignorant le fait que les fonctions de base du fluide composées sont des polynômes par morceaux présentant des discontinuités par rapport au maillage du solide.
• Analyse d'erreur abstraite : En suivant le cadre des conditions inf-sup, les auteurs dérivent une estimation d'erreur générale (Théorème er 2) qui borne la différence entre la solution discrète exacte et la solution obtenue avec une intégration inexacte. Cette borne dépend des fonctionnelles d'erreur de quadrature.
• Estimation de l'erreur de quadrature : La contribution technique centrale implique la preuve d'estimations spécifiques pour l'erreur de quadrature des termes de couplage. Les auteurs utilisent le fait que la fonction composée $v_h(X)$ est continue mais linéaire par morceaux sur les éléments du solide, ce qui conduit à des propriétés de régularité spécifiques dans les espaces de Sobolev fractionnaires ($H^{1+s}$). Ils emploient la théorie de l'interpolation et des inégalités d'inversion pour borner l'erreur.
• Preuve de stabilité : Les auteurs prouvent que le problème discret reste bien posé (satisfait les conditions inf-sup discrètes) même lorsque le terme de couplage est construit de manière approximative, à condition que des conditions spécifiques sur les tailles de maillage soient remplies.

Contributions clés et résultats

1. Bien-poséité avec couplage approximatif : L'article prouve que le problème discret est stable et bien posé même lorsque la matrice de couplage est assemblée en utilisant une quadrature approximative, sans nécessiter d'intersection de maillage.
2. Estimations de l'erreur de quadrature :
   • Pour le couplage basé sur $L^2$ ($c_0$), l'erreur de quadrature est bornée par $O(h_B^{3/2} |\log h_B|)$. Les auteurs montrent que la méthode approximative produit des taux de convergence optimaux pourvu que la taille du maillage du solide $h_B \to 0$.
   • Pour le couplage basé sur $H^1$ ($c_1$), l'analyse de l'erreur est plus complexe en raison du terme de gradient. La borne d'erreur inclut des termes dépendant du ratio des tailles de maillage. Spécifiquement, une convergence optimale nécessite non seulement que $h_B \to 0$, mais aussi que le ratio $h_B/h_\Omega \to 0$ (où $h_\Omega$ est la taille du maillage du fluide). Si $h_B/h_\Omega$ est maintenu constant, la méthode peut perdre son optimalité.
3. Inégalités d'inversion : Les auteurs dérivent et utilisent des inégalités d'inversion spécifiques pour gérer les normes du multiplicateur de Lagrange dans les estimations d'erreur, particulièrement pour le cas de la norme duale.
4. Validation numérique : Quatre tests numériques sont présentés pour valider les estimations théoriques :
   • Tests 1 & 2 : Comparent les taux de convergence pour $c_0$ et $c_1$ sous différentes stratégies de raffinement de maillage (ratio constant vs ratio décroissant). Les résultats confirment que $c_0$ est robuste avec une intégration approximative, tandis que $c_1$ nécessite $h_B/h_\Omega \to 0$ pour maintenir la précision.
   • Test 3 : Utilise une solution présentant un saut dans le gradient de vitesse à travers l'interface (typique de l'IFS), confirmant le taux de convergence sous-optimal attendu de $O(h^{1/2})$ dû aux singularités de la solution.
   • Test 4 : Étudie les éléments d'ordre supérieur ($P2/P1$), montrant que si $c_0$ reste robuste, $c_1$ nécessite toujours une intégration exacte ou des ratios de maillage spécifiques pour atteindre des taux optimaux.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir une justification théorique rigoureuse pour l'utilisation de l'intégration approximative dans les méthodes d'IFS à domaine fictif, une pratique souvent adoptée pour l'efficacité computationnelle. Les auteurs démontrent que :

• L'approche « inexacte » ne compromet pas la stabilité du schéma numérique.
• Le couplage basé sur $L^2$ ($c_0$) est particulièrement adapté à l'intégration approximative, car il ne nécessite pas que les maillages du fluide et du solide soient affinés selon un ratio spécifique pour maintenir la précision.
• Le couplage basé sur $H^1$ ($c_1$), bien qu'offrant potentiellement des propriétés de stabilité différentes, impose des exigences de maillage plus strictes ($h_B/h_\Omega \to 0$) pour éviter que les erreurs de quadrature ne dominent l'erreur de la solution.

Les auteurs concluent que leurs résultats théoriques confirment les observations expérimentales de leurs travaux précédents [12, 13], fournissant un fondement mathématique solide pour choisir entre les techniques d'assemblage exact (avec intersection de maillage) et approximatif (sans intersection) en fonction du type de forme de couplage et de la configuration du maillage.