The limits of Kahler manifolds under holomorphic deformations

Résumé technique : Les limites des variétés de Kähler sous les déformations holomorphes

Énoncé du problème
L'article aborde un problème de longue date en géométrie complexe concernant la stabilité de la propriété de Kähler sous les déformations holomorphes. Plus précisément, il examine la Conjecture 1.1 : Étant donnée une famille lisse de variétés complexes compactes $f: X \to \Delta$ (où $\Delta$ est le disque unité) telle que toutes les fibres $X_t$ pour $t \neq 0$ soient de Kähler, la fibre centrale $X_0$ est-elle nécessairement de Kähler ?

Bien que la conjecture soit connue pour être vraie pour les surfaces complexes ($\dim X_t = 2$) grâce à la théorie de la classification et aux résultats de Siu, le cas des dimensions $\dim X_t \geq 3$ reste largement ouvert. Des travaux antérieurs de Hironaka ont démontré que la limite de variétés de Kähler en dimension trois n'est pas nécessairement de Kähler. Des résultats ultérieurs de Popovici, Barlet et Rao-Tsai ont établi des conditions sous lesquelles la limite est moïshezon ou reste de Kähler sous des contraintes spécifiques sur les nombres de Hodge ou les métriques. Cependant, les résultats généraux concernant les limites de variétés de Kähler en dimensions supérieures, sans supposer la projectivité, sont rares.

Méthodologie
Les auteurs établissent la nature de Kähler de la fibre centrale $X_0$ en combinant l'invariance cohomologique, la construction de courants positifs et des conditions métriques spécifiques. La méthodologie se déroule en trois étapes principales :

1. Analyse cohomologique et construction de fibrés :
   Les auteurs analysent le comportement de la cohomologie de Bott–Chern ($H^{p,q}_{BC}$) et de la cohomologie de Dolbeault ($H^{p,q}_{\partial}$) au sein de la famille. Ils utilisent la semi-continuité supérieure de ces dimensions (Proposition 3.3) et les résultats de Kodaira et Spencer concernant la régularité des fibrés de cohomologie lorsque les dimensions sont constantes (Proposition 3.4).
   Une étape cruciale consiste à établir que si la fibre centrale satisfait l'égalité $h^2(X_0) = 2h^{0,2}_{\partial}(X_0) + h^{1,1}_{BC}(X_0)$, alors le fibré des classes $(1,1)$ $\cup H^{1,1}_{BC}(X_t, \mathbb{C})$ forme un sous-fibré lisse du fibré de la deuxième cohomologie. Cela permet de définir une connexion de Gauss–Manin restreinte à ces sous-fibrés.

2. Construction d'un courant positif (Lemme 3.11) :
   En s'appuyant sur la propriété de propreté de l'espace des cycles de Barlet (Propositions 3.8, 3.9) et sur l'invariance du cône de Kähler sous le transport parallèle (Théorème 3.10, Demailly–Păun), les auteurs construisent un courant $(1,1)$ positif et fermé $T$ sur la fibre centrale $X_0$.
   En supposant l'égalité cohomologique mentionnée ci-dessus, ils effectuent le transport parallèle d'une classe de Kähler d'une fibre voisine $X_t$ ($t \neq 0$) le long d'un chemin vers $X_0$. La limite des formes lisses correspondantes donne un courant $T$. Crucialement, ils prouvent que la partie absolument continue de ce courant, $T_{ac}$, satisfait $\int_{X_0} T_{ac}^n > 0$.

3. Application de critères métriques (Théorème 2.2) :
   L'article utilise un critère de Tosatti (Théorème 2.2, [23]) qui stipule qu'une variété complexe compacte $X$ équipée d'une métrique $\omega$ satisfaisant $\partial\bar{\partial}\omega = 0$ et $\partial\omega \wedge \bar{\partial}\omega = 0$ est de Kähler s'il existe un courant positif fermé $T$ tel que $\int_X T_{ac}^n > 0$.
   Les auteurs vérifient que, sous l'hypothèse que $X_0$ admet une telle métrique et que les dimensions cohomologiques pertinentes sont constantes (spécifiquement $h^{0,2}_{\partial}(X_0) = h^{0,2}_{\partial}(X_t)$), le courant construit satisfait la condition de volume.

Contributions et résultats clés

• Théorème 1.2 : Le résultat principal démontre que si $f: X \to \Delta$ est une famille lisse de variétés complexes compactes avec des fibres de Kähler pour $t \neq 0$, et que la fibre centrale $X_0$ satisfait :

  1. $X_0$ admet une métrique $\omega$ telle que $\partial\bar{\partial}\omega = 0$ et $\partial\omega \wedge \bar{\partial}\omega = 0$ ;
  2. $h^{0,2}_{\partial}(X_0) = h^{0,2}_{\partial}(X_t)$ pour $t \neq 0$ ;
     Alors $X_0$ est une variété de Kähler.
     L'article note que les métriques satisfaisant les conditions différentielles en (1) sont non triviales ; bien que de nombreuses variétés non de Kähler admettent de telles métriques (par exemple, certaines nilvariétés), le théorème fournit une condition suffisante pour que la limite soit de Kähler.

• Corollaire 1.3 : Les auteurs fournissent une preuve alternative que la limite de surfaces de Kähler est de Kähler. Contrairement aux preuves antérieures reposant sur la classification des surfaces, cette preuve utilise la dégénérescence de la suite spectrale de Frölicher à $E_1$ pour les surfaces et la machinerie générale développée pour les dimensions supérieures.

• Invariance cohomologique : L'article établit que, sous l'hypothèse d'une $h^{0,2}_{\partial}$ constante et de l'existence de la métrique spéciale sur $X_0$, l'égalité $h^2(X_0) = 2h^{0,2}_{\partial}(X_0) + h^{1,1}_{BC}(X_0)$ est vérifiée (Proposition 3.14). Cette égalité est la condition nécessaire pour assurer la régularité du fibré de cohomologie $(1,1)$, permettant l'argument de transport parallèle.

Portée et affirmations
L'article prétend résoudre le problème de la limite de Kähler pour une classe spécifique mais significative de déformations en dimensions $n \geq 3$. Les auteurs affirment que, avant ce travail, très peu de résultats étaient connus pour les limites de variétés de Kähler en dimensions supérieures sans supposer la projectivité.

La portée réside dans :

1. Le lien entre métrique et topologie : Le résultat connecte l'existence d'une métrique spécifique « de type équilibré » sur la fibre centrale à la stabilité topologique des dimensions cohomologiques pour garantir la propriété de Kähler.
2. Indépendance vis-à-vis de la classification : En fournissant une preuve pour le Corollaire 1.3 qui ne repose pas sur la classification des surfaces, les auteurs démontrent la robustesse de leur approche fondée sur la cohomologie et les courants, suggérant qu'il s'agit d'une voie viable pour les problèmes en dimensions supérieures.
3. Affinement de la conjecture : Le travail clarifie que, bien que la conjecture générale reste ouverte, la propriété de Kähler est préservée si la fibre centrale possède une métrique avec des propriétés différentielles spécifiques et si les nombres de Hodge $h^{0,2}_{\partial}$ restent constants à travers la déformation.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, reconnaissant que les conditions sur la métrique et la cohomologie sont des « hypothèses légères » mais nécessaires pour établir le résultat, et ils ne prétendent pas avoir résolu la conjecture pour toutes les variétés complexes compactes sans ces contraintes spécifiques.