Small-time estimates for a real moment problem with two-term Weyl spectral law

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque au problème de la solvabilité des problèmes de moments impliquant des exponentielles réelles $e^{\lambda_k t}$, où $(\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ est une suite croissante de nombres réels distincts. Ce problème est fondamental pour l'étude de la contrôlabilité nulle des équations paraboliques linéaires et de la contrôlabilité locale exacte des équations paraboliques bilinéaires.

Le défi principal réside dans le fait que les auteurs ne supposent pas la condition de séparation uniforme classique (c'est-à-dire que les écarts entre les valeurs propres $\lambda_{k+1} - \lambda_k$ ne sont pas nécessairement bornés inférieurement par une constante positive). Au lieu de cela, ils considèrent des suites spectrales satisfaisant une loi de Weyl à deux termes :
$$c_{W,1}\Gamma^a - c_{W,2}\Gamma^b \le N_\mu(\Gamma) \le c_{W,1}\Gamma^a + c_{W,2}\Gamma^b$$
où $N_\mu(\Gamma)$ est la fonction de comptage, avec $1/2 \le a < 5/8$ et $0 < b < 1/2$. Cette hypothèse permet de traiter des spectres présentant des "amas" (condensations) de taille non bornée, ce qui échappe aux résultats classiques basés sur des blocs uniformément espacés.

L'objectif est d'établir des estimations explicites du coût de contrôle (la norme $L^2$ du contrôle nécessaire) lorsque le temps de contrôle $T$ tend vers zéro, sans imposer de temps minimal de contrôle.

2. Méthodologie

La stratégie de preuve repose sur une combinaison de plusieurs outils analytiques avancés :

• Famille Bi-orthogonale et Problème de Moments : La première étape consiste à construire une famille bi-orthogonale $(\sigma_k)$ à la famille d'exponentielles $(e^{\lambda_k t})$ dans $L^2(0, T)$. La norme de ces fonctions $\sigma_k$ détermine directement le coût du contrôle.
• Stratégie de Lebeau-Robbiano : Les auteurs utilisent cette méthode itérative pour passer d'une contrôlabilité sur des sous-espaces filtrés (fréquences basses) à une contrôlabilité sur l'espace entier. Cela permet de gérer la dissipation de l'équation de la chaleur pour les hautes fréquences.
• Construction d'une suite spectrale auxiliaire : Pour contourner l'absence de séparation uniforme, les auteurs introduisent une suite auxiliaire $(\nu_k)$ qui modifie la partie haute fréquence de la suite originale $(\mu_k)$ tout en conservant les propriétés asymptotiques nécessaires. Cette suite est conçue pour satisfaire des conditions de "gaps" (écarts) faibles mais contrôlés.
• Estimation des écarts (Gaps) : Une partie cruciale du travail réside dans la preuve que la suite auxiliaire satisfait des conditions d'écarts de blocs (type $n$-ième écart) et des propriétés de croissance de la fonction de comptage, permettant d'appliquer des résultats existants (comme ceux de [26]) avec des constantes améliorées dépendant de la fréquence.

3. Résultats Principaux

A. Résultat sur le Problème de Moments (Théorème 1.1)

Sous les hypothèses de la loi de Weyl à deux termes et d'une condition de décroissance exponentielle des coefficients du contrôle ($|z_k| \ge \exp(-C \mu_k^{1-\delta})$), les auteurs prouvent l'existence d'une solution $u \in L^2(0, T)$ au problème de moments :
$$\int_0^T e^{\mu_k t} u(t) dt = x_k$$
avec une estimation du coût de contrôle :
$$\|u\|_{L^2(0,T)} \le C \exp\left( \frac{C}{T^{\alpha_{\varepsilon, \delta}}} \right) \|zx\|_{\ell^2}$$
où l'exposant $\alpha_{\varepsilon, \delta} = \max\left(\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}, \frac{1-\delta}{\delta}\right)$ dépend des paramètres de la loi de Weyl ($a, b$) et de la condition sur le contrôle ($\delta$).

B. Contrôlabilité Nulle Linéaire (Théorème 1.3)

En appliquant le résultat précédent à un système linéaire abstrait $\xi' + A\xi + Bv = 0$, ils déduisent la contrôlabilité nulle en temps arbitrairement petit avec le même taux d'explosion du coût de contrôle. Cela généralise les résultats connus aux cas où la séparation uniforme des valeurs propres est absente.

C. Contrôlabilité Bilineaire Locale Exacte (Théorème 1.8)

Le résultat le plus significatif est l'application à la contrôlabilité bilinéaire d'équations de la chaleur. Ils montrent que le système $\psi' + A\psi + vB\psi = 0$ est localement exactement contrôlable vers les solutions propres (eigensolutions) en temps court.

• Condition clé : La contrôlabilité est garantie si le coût de contrôle du système linéarisé satisfait une estimation de type exponentielle (comme obtenu au Théorème 1.3).
• Exemple concret : Ils appliquent ce résultat à l'opérateur Bi-Laplacien ($\Delta^2$) sur un rectangle avec des conditions aux limites hinged, où les valeurs propres ne satisfont pas la condition de séparation uniforme classique (à cause de la géométrie du domaine et de l'irrationalité algébrique du rapport des côtés).

4. Contributions Clés et Innovations

1. Affaiblissement des hypothèses spectrales : Contrairement aux travaux antérieurs qui nécessitaient une séparation uniforme par blocs (condition (1.15) dans la littérature), cet article traite des spectres avec des amas de taille non bornée, pourvu qu'ils respectent une loi de Weyl à deux termes.
2. Estimations précises du coût de contrôle : Les auteurs fournissent des estimations explicites du coût de contrôle en temps court, montrant une explosion de type $\exp(C/T^\alpha)$. Ils discutent également de l'optimalité de l'exposant $\alpha$ et de la restriction $a < 5/8$ (qui semble être une barrière technique de la méthode actuelle, bien que le cas $a < 1/2$ soit traité en annexe avec un coût potentiellement sous-optimal).
3. Nouveaux exemples de contrôlabilité bilinéaire : L'article fournit le premier exemple de contrôlabilité bilinéaire exacte pour des équations de la chaleur en dimension supérieure (via l'opérateur Bi-Laplacien) dans des domaines où les conditions spectrales classiques échouent.
4. Index de condensation : Ils montrent que pour les suites satisfaisant leurs hypothèses, l'index de condensation est nul ($c(\mu)=0$), ce qui implique l'absence de temps minimal de contrôle, même en présence de condensation spectrale.

5. Signification et Impact

Ce travail comble une lacune importante dans la théorie du contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP). Il démontre que la contrôlabilité en temps court ne dépend pas strictement de la séparation uniforme des valeurs propres, mais plutôt de la densité asymptotique du spectre (loi de Weyl) et de la capacité du contrôleur à exciter les modes propres (conditions sur l'opérateur $B$).

Cela ouvre la voie à l'analyse de systèmes physiques complexes où les géométries ou les matériaux induisent des spectres dégénérés ou fortement condensés, élargissant ainsi le champ d'application des méthodes de contrôle pour les équations de la chaleur et les équations bilinéaires. La méthode proposée, combinant l'analyse spectrale fine et la stratégie de Lebeau-Robbiano, devient un outil robuste pour l'étude de la contrôlabilité dans des régimes spectraux non standards.