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Derivations of Bloch (Majorana--Bloch) equation, von Neumann equation, and Schrödinger--Pauli equation

Cet article dérive mathématiquement les équations de von Neumann et de Schrödinger–Pauli indépendantes de l'espace pour le spin de l'électron à partir de l'équation classique de Bloch (Majorana–Bloch), tout en présentant leurs formulations au sein d'un cadre dynamique co-quantique et en étendant l'analyse pour inclure des équations d'induction non linéaires avec des fonctions de branchement signum.

Auteurs originaux : Lihong V. Wang

Publié 2026-09-16

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Lihong V. Wang

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Le monde de l'infiniment petit fonctionne selon des règles qui semblent défier notre expérience quotidienne. Dans le domaine des atomes et des électrons, les particules ne se contentent pas de rester immobiles ou de se déplacer en ligne droite ; elles possèdent une propriété intrinsèque appelée spin, qui se comporte comme une minuscule aiguille de boussole interne. Pendant des décades, les physiciens se sont appuyés sur deux ensembles de règles différents pour décrire le comportement de ces aiguilles microscopiques. Un ensemble, ancré dans la physique classique, traite le spin comme un objet physique qui peut être visualisé et suivi, un peu comme une toupie oscillante dans un champ magnétique. L'autre ensemble, connu sous le nom de mécanique quantique, décrit ce même spin à l'aide d'objets mathématiques abstraits qui représentent des probabilités et des états d'être, plutôt que des formes physiques. Pendant longtemps, les scientifiques ont été capables de traduire du langage quantique vers le langage classique, montrant comment les règles quantiques complexes se simplifient en le comportement classique familier. Cependant, le voyage inverse est resté un mystère : personne n'avait réussi à montrer comment partir de la description classique et physique pour dériver mathématiquement les équations quantiques fondamentales qui régissent l'existence de la particule. Ce fossé laissait une question persistante sur la véritable nature de la transition entre le monde que nous pouvons voir et le monde caché de l'atome.

Un chercheur de l'Institut de technologie de Californie a maintenant comblé ce fossé en démontrant que la description classique du spin d'un électron peut être transformée mathématiquement en l'équation centrale de la mécanique quantique. Le travail commence par l'équation classique qui décrit la rotation d'une aiguille magnétique lorsqu'elle est placée dans un champ magnétique. En traitant cette aiguille rotative non pas seulement comme un objet physique, mais comme une structure mathématique construite à partir de nombres complexes spécifiques, l'auteur montre que le mouvement classique évolue naturellement vers l'équation quantique qui décrit comment un système change au fil du temps. Cette dérivation est significative car elle prouve que les deux descriptions ne sont pas seulement similaires, mais qu'elles sont mathématiquement équivalentes pour un état pur unique d'un électron. L'étude établit une voie à double sens entre les visions classique et quantique, montrant que l'on peut partir de l'image simple et physique d'un aimant tournant pour arriver aux lois quantiques sophistiquées qui le régissent.

L'article va plus loin en explorant un nouveau cadre appelé dynamique co-quantique, qui tente d'expliquer comment un système quantique fait un choix entre différents états possibles, un processus souvent appelé l'effondrement de la fonction d'onde. Dans la théorie quantique standard, cet effondrement est traité comme un événement soudain et inexpliqué qui se produit lorsqu'une mesure est effectuée. La nouvelle recherche incorpore un mécanisme spécifique dans les équations qui décrit comment le spin s'installe progressivement dans une direction ou une autre, selon sa relation avec un environnement nucléaire environnant. En ajoutant ce mécanisme aux équations classiques, l'auteur dérive une nouvelle version, plus complexe, de l'équation quantique. Cette nouvelle équation inclut des termes qui dépendent de l'état actuel du système lui-même, faisant en sorte que les règles du mouvement changent à mesure que le système évolue. Cela suggère que la transition d'un état quantique flou vers un résultat classique défini n'est pas un saut aléatoire, mais un processus continu piloté par l'induction physique, semblable à la façon dont une toupie finit par ralentir et tomber en raison de la friction et de la gravité.

Ces découvertes offrent une perspective nouvelle sur l'un des puzzles les plus persistants de la physique : comment la réalité définie que nous expérimentons émerge de la nature probabiliste du monde quantique. En montrant que les équations classiques peuvent être converties en équations quantiques, et en étendant cela pour inclure un mécanisme physique pour l'effondrement de l'état, ce travail fournit un chemin mathématique qui relie les deux mondes sans s'appuyer sur des postulats inexpliqués. La recherche ne prétend pas avoir résolu tous les mystères de la mécanique quantique, mais elle démontre avec succès que les équations fondamentales du monde quantique peuvent être construites directement à partir des lois classiques du mouvement. Cette réussite suggère que le comportement étrange des électrons pourrait être plus ancré dans la réalité physique qu'on ne le pensait auparavant, offrant une vision plus claire de la manière dont les règles microscopiques façonnent le monde macroscopique que nous habitons.

Résumé technique : Dérivations des équations de Bloch (Majorana–Bloch), de von Neumann et de Schrödinger–Pauli

Énoncé du problème
La transition de la physique classique vers la mécanique quantique demeure un mystère fondamental, particulièrement en ce qui concerne la dérivation de l'équation de Schrödinger à partir de principes classiques. Bien qu'il soit établi que l'équation de Schrödinger–Paoli indépendante de l'espace (ou l'équation de von Neumann) pour un système à deux niveaux unitaire peut être convertie en l'équation de Bloch classique, la conversion inverse — dériver les équations de la mécanique quantique à partir de l'équation de Bloch classique — n'a pas été explicitement démontrée dans la littérature. De plus, le mécanisme de l'effondrement de la fonction d'onde, souvent traité comme un postulat séparé dans l'interprétation de Copenhague, manque d'une dérivation unifiée à partir de l'électrodynamique classique au sein des cadres standards.

Méthodologie
Le document emploie une stratégie de dérivation mathématique pour établir une transition bidirectionnelle entre les descriptions classiques et quantiques du spin de l'électron. La méthodologie procède en trois étapes principales :

Dérivation de l'équation de Majorana–Bloch : L'auteur fournit d'abord une dérivation de l'équation de Bloch classique (appelée équation de Majorana–Bloch, en reconnaissance de la formulation antérieure d'Ettore Majorana) en utilisant deux modèles classiques : un modèle de boucle de courant et un modèle de particule ponctuelle. Ces modèles utilisent la deuxième loi de Newton pour les systèmes de rotation et la force de Lorentz pour dériver l'équation du mouvement du moment magnétique dipolaire $\vec{\mu}$ dans un champ magnétique $\vec{B}$ .
Conversion Classique-vers-Quantique (Bloch vers von Neumann) : L'équation de Bloch classique est mathématiquement convertie en l'équation de von Neumann indépendante de l'espace. Cela est réalisé en :
- Exprimant le vecteur unitaire du moment magnétique $\hat{\mu}$ en termes de coordonnées sphériques.
- Utilisant le vecteur de Pauli $\vec{\sigma}$ comme un outil mathématique pour mapper les vecteurs de l'espace réel vers des opérations matricielles complexes.
- Appliquant l'identité du vecteur de Pauli $(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\sigma_0 + i(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{\sigma}$ pour transformer la dynamique du produit vectoriel de l'équation de Bloch en une forme de commutateur.
- Définissant une matrice densité $\rho$ et un Hamiltonien $H$ pour retrouver l'équation de von Neumann standard $i\hbar \frac{d\rho}{dt} = [H, \rho]$ .
Dérivation de l'équation de Schrödinger–Pauli : Le document tente de dériver l'équation de Schrödinger–Pauli indépendante de l'espace à partir de l'équation de von Neumann sous deux cadres distincts :
- Mécanique Quantique Standard : En supposant que la matrice densité représente un état pur ( $\rho = |\hat{\mu}\rangle\langle\hat{\mu}|$ ) et en analysant l'évolution des vecteurs bra et ket. La dérivation montre que si les vecteurs bra et ket proviennent de réalisations indépendantes, l'équation de Schrödinger–Pauli est une condition nécessaire et suffisante. Cependant, si elles proviennent de réalisations identiques, la matrice résultante $(1-\rho)$ est singulière, ce qui signifie que l'équation de Schrödinger–Pauli ne peut être atteinte que comme une condition suffisante mais non nécessaire.
- Dynamique Co-Quantique (CQD) : En utilisant le cadre CQD, qui modélise explicitement les réalisations indépendantes de l'électron et d'un "co-quantique" (noyau), la dérivation est répétée. Le document précise que pour atteindre l'équation de Schrödinger–Pauli comme une condition nécessaire et suffisante, il faut supposer que les vecteurs bra et ket proviennent de réalisations indépendantes, une condition qui est implicite en mécanique quantique standard mais rendue explicite en CQD.

Contributions clés et résultats

Conversion inverse établie : Le document démontre avec succès la conversion inverse de la physique classique (équation de Bloch) vers la mécanique quantique (équations de von Neumann et de Schrödinger–Pauli) pour un état pur de spin électronique. Cela complète la transition bidirectionnelle entre les descriptions classique et quantique pour ce système spécifique.
Dérivation de l'équation de Schrödinger–Pauli : L'équation de Schrödinger–Pauli indépendante de l'espace est dérivée de l'équation de von Neumann. L'auteur précise que cette dérivation n'est une condition nécessaire et suffisante que sous l'hypothèse spécifique que les vecteurs bra et ket proviennent de réalisations indépendantes. Sans cette hypothèse (c'est-à-dire si les vecteurs proviennent de réalisations identiques), l'équation ne sert que de condition suffisante mais non nécessaire.
Extension non linéaire pour l'effondrement de la fonction d'onde : Le document étend la dérivation pour inclure l'équation de Landau–Lifshitz–Gilbert, qui incorpore un terme d'induction. Cela conduit à une variante non linéaire de l'équation de von Neumann. En intégrant la fonction de branchement de signe de la CQD (qui dicte la direction de l'effondrement basée sur les angles relatifs de l'électron et du noyau), l'auteur dérive :
- Une forme explicite de double commutateur de l'équation d'induction non linéaire.
- Un Hamiltonien effectif dépendant de l'état qui est hermitien mais non linéaire par rapport à l'opérateur densité.
- Une formulation où le signe de branchement est une fonctionnelle de l'opérateur densité elle-même, permettant aux dynamiques d'effondrement d'être closes au sein de la représentation de l'espace de Hilbert sans un propagateur linéaire unique et indépendant de l'état.

Signification et revendications
Le document affirme combler une lacune dans la littérature en montrant la transition inverse de la physique classique (équation de Bloch) vers la mécanique quantique (équations de von Neumann et de Schrödinger–Pauli) pour le spin de l'électron. Il soutient que la transition est mathématiquement rigoureuse pour les états purs, avec la réserve que l'équation de Schrödinger–Pauli est une condition nécessaire et suffisante uniquement lorsqu'on suppose des réalisations indépendantes.

Concernant l'effondrement de la fonction d'onde, le document ne prétend pas résoudre entièrement le problème de la mesure, mais suggère que le cadre CQD, qui incorpore le terme d'induction et les conditions de branchement, fournit un mécanisme physique compatible avec l'équation de Landau–Lifshitz–Gilbert. L'auteur note que bien que l'équation de Schrödinger standard ne puisse pas modéliser l'effondrement, la variante non linéaire dérivée dans le cadre CQD capture la dynamique d'induction. Le document conclut que ces transitions offrent des perspectives potentielles sur des questions fondamentales de la physique quantique, notamment concernant la relation entre les dynamiques classiques et quantiques et la nature de l'effondrement de la fonction d'onde, sans affirmer que l'équation de Schrödinger standard peut être modifiée pour modéliser l'effondrement dans le sens linéaire traditionnel.

Résumé technique : Dérivations des équations de Bloch (Majorana–Bloch), de von Neumann et de Schrödinger–Pauli

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