Derivations of Bloch (Majorana--Bloch) equation, von Neumann equation, and Schrödinger--Pauli equation

技術的要約：ブロッホ（マヨラナ・ブロッホ）、フォン・ノイマン、およびシュレディンガー・パウリ方程式の導出

問題提起
古典物理学から量子力学への移行は、依然として基礎的な謎であり、特に古典的な原理からシュレディンガー方程式を導出することに関する問題が挙げられる。ユニタリな二準位系における空間非依存のシュレディンガー・パウリ方程式（またはフォン・ノイマン方程式）が、古典的なブロッホ方程式に変換できることは確立されているが、その逆の変換、すなわち古典的なブロッホ方程式から量子力学的な方程式を導出することは、文献において明示的に示されていない。さらに、コペンハーゲン解釈において別個の公理として扱われることが多い波束の収縮（波動関数の崩壊）のメカニズムは、標準的な枠組み内での古典電磁気学からの統一的な導出を欠いている。

手法
本論文は、電子のスピンに関する古典的記述と量子力学的記述の間の双方向の遷移を確立するための数学的導出戦略を採用している。その手法は、主に以下の3つの段階で進行する。

1. マヨラナ・ブロックス方程式の導出：著者はまず、2つの古典的モデル（電流ループモデルおよび点粒子モデル）を用いて、古典的なブロッホ方程式（エットトーレ・マヨラナによる先行研究を認め、マヨラナ・ブロッホ方程式と呼称）の導出を行う。これらのモデルは、磁場 $\vec{B}$ 中における磁気モーメント $\vec{\mu}$ の運動方程式を導出するために、回転系に対するニュートンの第2法則とローレンツ力を利用している。
2. 古典から量子への変換（ブロッホからフォン・ノイマンへ）：古典的なブロッホ方程式は、数学的に空間非依存のフォン・ノイマン方程式へと変換される。これは以下の手順で行われる。
   • 磁気モーメントの単位ベクトル $\hat{\mu}$ を球面座標系を用いて表現する。
   • パウリベクトル $\vec{\sigma}$ を、実空間のベクトルを複素行列演算へと写像するための数学的ツールとして利用する。
   • パウリベクトルの恒等式 $(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\sigma_0 + i(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{\sigma}$ を適用し、ブロッホ方程式の外積のダイナミクスを交換子形式へと変換する。
   • 密度行列 $\rho$ とハミルトニアン $H$ を定義し、標準的なフォン・ノイマン方程式 $i\hbar \frac{d\rho}{dt} = [H, \rho]$ を復元する。
3. シュレディンガー・パウリ方程式の導出：本論文は、2つの異なる枠組みの下で、フォン・ノイマン方程式から空間非依存のシュレディンガー・パウリ方程式を導出しようと試みている。
   • 標準量子力学：密度行列が純粋状態（$\rho = |\hat{\mu}\rangle\langle\hat{\mu}|$）を表すと仮定し、ブラ（bra）およびケット（ket）ベクトルの進化を分析することで行う。この導出は、もしブラとケットのベクトルが独立した実現（realizations）に由来する場合、シュレディンガー・パウリ方程式は必要十分条件であることを示している。しかし、もしそれらが同一の実現に由来する場合、結果となる行列 $(1-\rho)$ は特異となり、シュレディンガー・パウリ方程式は十分条件ではあるが、必要条件ではないものとして到達される。
   • 共量子力学（CQD）：電子と「共量子（co-quantum）」である原子核の独立した実現を明示的にモデル化するCQDの枠組みを用いて、導出を繰り返す。ブラとケットのベクトルが独立した実現に由来するという仮定の下でなければ、シュレディンガー・パウリ方程式を必要十分条件として到達できないという点を、本論文は明確にしている。CQDにおいては、この条件は標準量子力学では暗黙的であるが、明示的に扱われている。

主要な貢献と結果

• 逆変換の確立：本論文は、電子スピンの純粋状態に対して、古典的なブロッホ方程式から空間非依存のフォン・ノイマン方程式への逆変換を成功裏に示した。これにより、この特定のシステムにおける古典的記述と量子力学的記述の間の双方向の遷移が完了した。
• シュレディンガー・パウリ方程式の導出：フォン・ノイマン方程式から空間非依存のシュレディンガー・パウリ方程式が導出された。著者は、この導出が、独立した実現が仮定される場合にのみ必要十分条件となることを明らかにしている。この仮定がない場合（すなわち、ベクトルが同一の実現に由来する場合）、当該方程式は十分条件としてのみ機能する。
• 波束の収縮のための非線形拡張：本論文は、誘導項を含むランダウ・リフシッツ・ギルバート方程式を含めることで、導出を非線形な展開へと拡張している。これにより、非線形なフォン・ノイマン方程式が導かれる。電子と原子核の相対角度に基づいて分岐の方向を決定するCQDのシグナム（符号）分岐関数を積分することにより、著者は以下を導出している。
  • 非線形誘導方程式の明示的な二重交換子形式。
  • 密度演算子に対してエルミートではあるが非線形な、状態依存の有効ハミルトニアン。
  • 分岐の符号が密度演算子自体の汎関数となる定式化。これにより、単一の状態で独立した線形プロパゲーターを用いることなく、ヒルベルト空間表現内で収束（collapse）のダイナミクスを閉じたものとして扱うことが可能となる。

意義と主張
本論文は、電子スピンに関して、古典物理学（ブロッホ方程式）から量子力学（フォン・ノイマンおよびシュレディンガー・パウリ方程式）への逆の遷移を示すことで、文献における空白を埋めると主張している。この遷移は、純粋状態に対して数学的に厳密であるが、シュレディンガー・パウリ方程式が必要十分条件となるのは、独立した実現が仮定される場合に限られるという留保が付されている。

波束の収縮に関しては、本論文は測定問題を完全に解決すると主張しているのではなく、誘導項と分岐条件を取り入れたCQDの枠組みが、ランダウ・リフシッツ・ギルバート方程式と整合する物理的メカニズムを提供することを示唆している。著者は、標準的なシュレディンガー方程式は収束をモデル化できないが、CQDフレームワークにおける導出された非線形変種は、誘導ダイナミクスを捉えることができると述べている。結論として、これらの遷移は、古典的ダイナミクスと量子力学的ダイナミクスの関係や、波束の収縮の性質といった量子基礎論における未解決の問題に対し、新たな洞察を与える可能性を提示している。ただし、これは標準的なシュレディンガー方程式が伝統的な線形的な意味での収束をモデル化できるように修正できると主張するものではない。