A fractional Hardy-Sobolev inequality of Michael-Simon type on convex hypersurfaces

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de l'analyse géométrique et des inégalités fonctionnelles sur les variétés. Le problème central est l'extension des inégalités classiques de type Sobolev et Hardy au cadre fractionnaire (non-local) sur des hypersurfaces de $\mathbb{R}^{n+1}$ qui sont les frontières de ensembles convexes.

• Contexte historique :
  • L'inégalité classique de Michael-Simon (et Allard) étend l'inégalité de Sobolev aux sous-variétés de $\mathbb{R}^{n+1}$ avec une constante universelle indépendante de la variété, en introduisant un terme de courbure moyenne $H$.
  • Des travaux récents (Cabrè, Cozzi, Csató) ont établi une version fractionnaire de l'inégalité de Michael-Simon pour des surfaces minimales non-locales.
  • L'inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) classique est une interpolation entre les inégalités de Sobolev et de Hardy, incluant des poids de la forme $|x|^\gamma$.
• Objectif : Les auteurs visent à prouver une inégalité d'interpolation de type CKN fractionnaire sur des hypersurfaces convexes $\partial\Omega$, reliant une norme pondérée $L^\tau$ à une semi-norme fractionnaire $W^{s,p}$ et à la courbure moyenne fractionnaire $H_\alpha$.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison de techniques d'analyse non-locale, de géométrie convexe et d'arguments de réarrangement.

A. Définitions et Cadres

• Semi-norme fractionnaire : Les auteurs utilisent la définition de la semi-norme $[u]_{W^{s,p}(M)}$ basée sur la distance euclidienne dans l'espace ambiant $\mathbb{R}^{n+1}$ (et non la distance géodésique intrinsèque) :
  $$[u]_{W^{s,p}(M)} := \left( \int_M \int_M \frac{|u(x) - u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dx \, dy \right)^{1/p}$$
• Courbure moyenne fractionnaire : $H_\alpha(x)$ est définie comme une valeur principale (P.V.) d'une intégrale singulière impliquant la fonction caractéristique du domaine convexe $\Omega$.

B. Étape Clé : Inégalité de Réarrangement sur les Convexes

Un obstacle majeur est que l'inégalité de réarrangement de Schwarz classique (qui compare l'intégrale d'une fonction pondérée sur un ensemble à celle sur sa boule symétrique) ne tient pas universellement pour n'importe quelle hypersurface.

• Théorème 1.2 (Résultat intermédiaire crucial) : Les auteurs prouvent que pour tout sous-ensemble mesurable $E$ de la frontière d'un ensemble convexe $\Omega$, l'inégalité suivante hold avec une constante universelle :
  $$\int_E |x|^{-\beta} \, dx \le C |E|^{\frac{n-\beta}{n}}$$
  Cela est possible grâce à la convexité. La preuve utilise le fait que la frontière d'un ensemble convexe peut être décomposée en un nombre fini de graphes de fonctions lipschitziennes (au plus $2(n+1)$) dont les pentes sont uniformément bornées. Cela permet de contrôler la géométrie de la surface par rapport à l'origine.

C. Stratégie de Preuve du Théorème Principal

La preuve du théorème principal (Théorème 1.1) est divisée en deux cas selon la relation entre les paramètres d'interpolation :

1. Cas $1/\tau \le a/p + (1-a)/q$ :

   • Utilisation d'une décomposition de la fonction $u$ en niveaux (méthode de Calderón-Zygmund / décomposition dyadique).
   • Application de l'inégalité de réarrangement (Théorème 1.2) pour majorer les termes pondérés.
   • Utilisation d'une inégalité de Hölder généralisée sur les séries pour combiner les termes de la semi-norme fractionnaire et de la norme $L^q$.

2. Cas $1/\tau > a/p + (1-a)/q$ (Cas critique) :

   • Cette situation implique que l'exposant de poids $\gamma$ est très négatif ($\gamma < -as$).
   • La stratégie consiste à séparer l'intégrale en deux régions : l'intérieur de la boule unité $B_1(0)$ et son extérieur.
   • Lemme 4.1 : Les auteurs établissent des bornes universelles pour les intégrales de $|x|^{-\beta}$ sur $\partial\Omega \cap B_1(0)$ et $\partial\Omega \setminus B_1(0)$, en exploitant à nouveau la convexité et la monotonie du périmètre des ensembles convexes.
   • Interpolation via l'inégalité de Hölder pour ramener le problème à des cas déjà résolus (ceux du cas 1).

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Inégalité Fractionnaire de Michael-Simon-Caffarelli-Kohn-Nirenberg) :
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un ensemble ouvert convexe. Pour des paramètres appropriés ($s, \alpha, p, q, \tau, a, \gamma$), il existe une constante universelle $C$ telle que pour toute fonction $u \in W^{s,p}(\partial\Omega)$ :

$$\||x|^\gamma u\|_{L^\tau(\partial\Omega)} \le C \left( \frac{1}{2} [u]_{W^{s,p}(\partial\Omega)}^p + \int_{\partial\Omega} H_\alpha(x) |u(x)|^p \, dx \right)^{a/p} \|u\|_{L^q(\partial\Omega)}^{1-a}$$

• Caractéristiques de l'inégalité :
  • La constante $C$ est universelle : elle ne dépend pas de la géométrie spécifique de $\Omega$, mais uniquement des paramètres dimensionnels et d'interpolation.
  • Elle interpolie entre l'inégalité de Sobolev fractionnaire (lorsque $\gamma=0$) et une nouvelle inégalité de Hardy fractionnaire sur les hypersurfaces.
  • Le terme de courbure $H_\alpha$ joue un rôle crucial pour compenser la géométrie, généralisant le terme de courbure moyenne classique $H$.

Théorème 1.2 (Inégalité de périmètre pondéré) :
Pour tout ensemble convexe $\Omega$ et tout $\beta \in [0, n)$, l'intégrale de $|x|^{-\beta}$ sur une partie de la frontière est contrôlée par la mesure de cette partie élevée à une puissance dépendante de la dimension. C'est un résultat de géométrie convexe indépendant de l'analyse fonctionnelle principale, mais essentiel pour la preuve.

4. Contributions et Signification

1. Généralisation Non-Locale : L'article comble un vide important en établissant des inégalités d'interpolation de type CKN dans le cadre non-local (fractionnaire) sur des variétés courbes, un domaine où les résultats étaient auparavant limités aux cas locaux ou aux espaces euclidiens plats.
2. Rôle de la Convexité : La démonstration met en lumière la puissance de l'hypothèse de convexité. Elle permet de contrôler la géométrie de la frontière (via la décomposition en graphes) pour obtenir des constantes universelles, ce qui échouerait sur des hypersurfaces générales (qui pourraient osciller infiniment près de l'origine).
3. Nouvelle Preuve pour le Cas Plan : La méthode développée, lorsqu'elle est restreinte au cas euclidien ($M = \mathbb{R}^n$), fournit une preuve simple et nouvelle de l'inégalité de Hardy fractionnaire, reliant directement les techniques de réarrangement aux inégalités non-locales.
4. Outils Géométriques : Le Lemme 4.1 et la preuve du Théorème 1.2 apportent de nouveaux outils pour l'analyse sur les surfaces convexes, notamment des estimations de périmètre pondéré qui pourraient avoir des applications dans l'étude des flots de courbure fractionnaire.

En résumé, ce travail étend considérablement le cadre des inégalités fonctionnelles géométriques en intégrant la non-localité et la convexité, offrant un cadre unifié pour les inégalités de Sobolev et de Hardy sur les hypersurfaces convexes.