Solvability of the Neumann problem for elliptic equations in chord-arc domains with very big pieces of good superdomains

Résumé technique : Solvabilité du problème de Neumann pour les équations elliptiques dans les domaines chord-arc avec de très grandes parties de superdomaines de bonne qualité

Énoncé du problème
L'article traite de la solvabilité du problème de Neumann pour les opérateurs elliptiques sous forme divergence, $L = -\text{div}(A\nabla)$, au sein de domaines bornés de type chord-arc $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$. Les coefficients de la matrice $A$ sont supposés posséder une oscillation moyenne de type Dini (DMO). Le défi central est d'établir la solvabilité en $L^p$ du problème de Neumann, notée $(N_p)_L$, pour $1 < p \le 2$.

Bien que la solvabilité du problème de Dirichlet $(D_p)_L$ et du problème de régularité $(R_p)_L$ dans les domaines chord-arc ait été largement étudiée et établie pour le Laplacien et certaines classes d'opérateurs (par exemple, les opérateurs DKP), le problème de Neumann reste nettement plus difficile. Contra lieu au problème de Dirichlet, le problème de Neumann ne possède pas de principe du maximum permettant de transférer la solvabilité d'un sous-domaine vers le domaine original. De plus, la fonction de Neumann ne possède pas de signe défini, ce qui empêche l'utilisation des techniques de mesure harmonique positive. Les auteurs visent spécifiquement la question ouverte de savoir si $(N_p)_L$ est solvable dans les domaines chord-arc, un problème mis en évidence par Kenig et plus tard par Toro, particulièrement dans le contexte où la frontière supporte une inégalité de Poincaré- $p$ faible.

Méthodologie
Les auteurs emploient un argument d'inégalité de type « bon $\lambda$ » combiné à une procédure de bootstrapping et de dualité. La méthodologie repose sur plusieurs composantes techniques clés :

1. Formulations duales et problèmes de Neumann grossiers : Les auteurs introduisent des variantes du problème de Neumann, incluant le « problème de Neumann grossier » (rough Neumann problem) et des versions $\rho$-lisses. Ils utilisent des arguments de dualité pour relier la solvabilité du problème de Neumann $(N_p)_L$ à la solvabilité d'un problème de Neumann « grossier » pour l'opérateur adjoint $L^*$ dans les espaces de Lorentz ($L^{p', \infty}$). Plus précisément, ils établissent que $(N_p)_L$ est solvable si et seulement si le problème de Neumann grossier $(N^R_{L^{p'}})_{L^*}$ est solvable, à condition que le problème de régularité $(R_q)_L$ soit solvable pour un certain $q > p$.

2. Localisation et superdomaines : Une innovation centrale est l'utilisation de « très grandes parties » de superdomaines. Les auteurs supposent que pour chaque boule $B(\xi, r)$ sur la frontière, il existe un « superdomaine » $U_{\xi,r}$ (un domaine chord-arc de classe $C^2$) tel que $\Omega \cap B(\xi, r) \subset U_{\xi,r}$. Crucialement, le problème de Neumann est supposé uniformément solvable dans ces superdomaines. La condition exige que la partie « mauvaise » de la frontière $\partial \Omega \setminus \partial U_{\xi,r}$ ait une mesure faible par rapport à la boule (contrôlée par un paramètre $\varepsilon$).

3. Inégalité de bon $\lambda$ et interpolation : La preuve du théorème principal repose sur l'établissement d'une estimation de la forme :
   $$C_L(N^R_{L^{p'}, L^{p', \infty}}) \le K(1 + \varepsilon^a C_L(N^R_{L^{p'}, L^{p', \infty}}))$$
   En choisissant un $\varepsilon$ suffisamment petit, le terme impliquant la constante inconnue à droite peut être absorbé, produisant ainsi une borne uniforme. Cette estimation est dérivée en utilisant un lemme de localisation (Lemme 4.3) qui décompose la solution en parties locales et de champ lointain, en utilisant la fonction de Neumann et ses propriétés (estimations de Moser, continuité de Hölder).

4. Approximation et densité : Les auteurs utilisent des approximations de l'identité $\rho$-lisses ($S_\rho$) pour gérer le manque de lissité des données de bord et des coefficients de l'opérateur. Ils prouvent que la solvabilité pour les versions lisses implique la solvabilité pour les versions grossières via des arguments de densité et d'interpolation entre les espaces de Lorentz.

Contributions clés et résultats
Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui stipule :
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un domaine chord-arc de classe $C^1$ borné et $L \in \text{EDMO}(\mathbb{R}^{n+1})$. Soit $p \in (1, 2)$. Si :

1. Le problème de régularité $(R_q)_L$ est solvable dans $\Omega$ pour un certain $q > p$ ;
2. $\partial \Omega$ supporte une inégalité de Poincaré-$p$ faible ;
3. $\Omega$ possède de « très grandes parties » de superdomaines $U_{\xi,r}$ (spécifiquement, des domaines chord-arc de classe $C^2$) pour lesquels le problème de Neumann $(N_q)_L$ est uniformément solvable, et la mesure de la différence de frontière est petite ($\varepsilon$-petite) ;

Alors, le problème de Neumann $(N_p)_L$ est solvable dans $\Omega$.

Un corollaire spécifique (Corollaire 1.2) applique cela au Laplacien ($\Delta$). Il affirme que si $(R_q)_\Delta$ est solvable dans un domaine chord-arc de classe $C^1$ et que le domaine possède de très grandes parties de superdomaines de type Lipschitz avec des problèmes de Neumann uniformément solvables, alors $(N_p)_\Delta$ est solvable.

Signification et affirmations
L'article affirme que le Théorème 1.1 est un nouveau résultat, même pour l'opérateur Laplacien. Les auteurs notent que bien que la solvabilité de $(N_2)_\Delta$ dans les domaines Lipschitz soit un résultat classique (Jerison-Kenig), l'extension à $L^p$ pour $p \neq 2$ dans des domaines plus rugueux (chord-arc) était un problème ouvert.

La signification réside dans :

• Surmonter l'absence de principe du maximum : Les auteurs fournissent une méthode pour transférer la solvabilité de « bons » superdomaines vers le domaine « rugueux » $\Omega$ sans dépendre du principe du maximum, qui n'est pas disponible pour les problèmes de Neumann.
• Répondre au problème ouvert de Kenig : Ce travail progresse sur la question posée par Kenig (1991) et Toro (2010) concernant l'existence d'un $p > 1$ pour lequel le problème de Neumann est solvable dans les domaines chord-arc.
• Dualité et problèmes de Neumann grossiers : L'article introduit et utilise une formulation de « problème de Neumann grossier » et sa dualité avec le problème de régularité, offrant une nouvelle perspective sur la solvabilité des problèmes aux valeurs limites dans des contextes non lisses.
• Optimalité des conditions : Les auteurs reconnaissent que leur preuve nécessite la condition de « très grandes parties » (petit $\varepsilon$) pour absorber les termes d'erreur dans l'inégalité de bon $\lambda$. Ils discutent qu'une application itérative de leur théorème pourrait éventuellement permettre des $\varepsilon$ plus grands (proches de 1), couvrant potentiellement tous les domaines chord-arc, bien que cela demeure une difficulté potentielle en raison de la dépendance des constantes dans le processus itératif.

L'article ne prétend pas résoudre le problème de Neumann pour tous les domaines chord-arc de manière inconditionnelle, mais établit la solvabilité sous la condition géométrique spécifique de posséder de « très grandes parties » de superdomaines pour lesquels le problème est déjà connu comme étant solvable. Le résultat comble le fossé entre la solvabilité dans les domaines Lipschitz (ou $C^2$) et le cadre plus général des domaines chord-arc.