Strong Hybrid Subconvexity for Twisted Selfdual $\mathrm{GL}_3$ $L$-Functions

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque au problème fondamental de la sous-convexité (subconvexity) pour les fonctions L automorphes, spécifiquement pour les formes de cusp autoduales de rang 3 ($GL_3$) sur $SL_3(\mathbb{Z})$, tordues par des caractères de Dirichlet primitifs.

Le problème central consiste à établir des bornes supérieures pour les valeurs centrales (ou proches du centre) de ces fonctions L, $L(s, F \otimes \chi)$, qui soient strictement inférieures à la "borne de convexité" (convexity bound) déduite de l'équation fonctionnelle.

• La borne de convexité pour $L(1/2 + it, F \otimes \chi)$ est de l'ordre de $(q(|t|+1))^{3/4+\varepsilon}$, où $q$ est le conducteur du caractère et $t$ est le paramètre spectral.
• L'objectif est d'atteindre une borne dite "hybride", uniforme simultanément dans le paramètre de conducteur $q$ (aspect $q$) et le paramètre spectral $t$ (aspect $t$), ainsi que dans les paramètres des formes de cusp associées ($GL_2$).

Les auteurs visent à obtenir des bornes qui atteignent la limite naturelle de la méthode du premier moment (pionnière par Li et Blomer), modulo les connaissances actuelles sur les moments d'ordre deux des fonctions L de rang 3.

2. Méthodologie : Réciprocité Spectrale

La contribution méthodologique majeure de cet article est l'utilisation d'une formule de réciprocité spectrale explicite reliant un moment de fonctions L de type $GL_3 \times GL_2$ à un moment de fonctions L de type $GL_4 \times GL_1$.

A. La Formule de Réciprocité Spectrale ($GL_3 \times GL_2 \rightleftharpoons GL_4 \times GL_1$)

Le cœur de la preuve repose sur une identité (Théorème 6.4) qui établit une égalité entre :

1. Le Moment $GL_2$ : Une somme (et une intégrale) sur une famille de formes de cusp de $GL_2$ (et de séries d'Eisenstein) pondérée par les valeurs centrales $L(1/2, F \otimes f \otimes \chi)$.
2. Le Moment Dual $GL_1$ : Une somme sur les caractères de Dirichlet et une intégrale sur $t$, impliquant des produits de fonctions L de rang 4 et 1 ($L(1/2+it, F \otimes \psi) L(1/2-it, \psi)$).

Cette formule est dérivée en :

• Utilisant les formules de Kuznetsov et Petersson pour les formes de cusp de niveau arbitraire.
• Appliquant la formule de sommation de Voronoï pour $GL_3$ (Miller-Schmid) pour transformer les sommes de Kloosterman.
• Effectuant une continuation analytique soignée d'une identité valable dans la région de convergence absolue ($\Re(w) > 1$) vers la valeur centrale $w = 1/2$.

B. Gestion des Termes Principaux et Duaux

• Termes Principaux : L'analyse des résidus lors du déplacement des contours d'intégration génère des termes principaux (primaire et secondaire). Les auteurs montrent que pour une forme autoduale $F$, le terme secondaire s'annule ou est contrôlé, grâce à la non-négativité de $L(1/2, F \otimes f)$.
• Le Moment Dual : La borne du moment dual est le défi technique principal. Elle nécessite de borner l'intégrale :
  $$\sum_{\psi} \int |L(1/2+it, F \otimes \psi) L(1/2-it, \psi) Z_\chi(\psi; t)|^2 dt$$
  où $Z_\chi$ est une somme de caractères complexe.

C. Bornes de Moments d'Ordre Deux

Pour contrôler le moment dual, les auteurs utilisent :

1. L'inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. Des bornes de moments d'ordre deux pour $L(1/2+it, F \otimes \psi)$ obtenues via le grand crible hybride de Gallagher.
3. Une innovation clé : Une borne de type Lindelöf "en moyenne" pour le second moment des fonctions L de Dirichlet restreintes à un coset du groupe des caractères. Cette borne (Théorème 9.7) est d'intérêt indépendant et permet de gérer les caractères exceptionnels où la somme de caractères $Z_\chi$ pourrait être grande.

3. Résultats Principaux

Les auteurs prouvent des bornes de sous-convexité hybrides fortes pour plusieurs types de fonctions L.

Théorème 1.1 : Bornes pour $L(1/2+it, F \otimes \chi)$ et produits $GL_3 \times GL_2$

Soit $F$ une forme de cusp autoduale de $SL_3(\mathbb{Z})$ et $\chi$ un caractère de conducteur $q$.

• Cas $GL_3 \times GL_1$ :
  $$L(1/2+it, F \otimes \chi) \ll_{F,\varepsilon} (q(|t|+1))^{3/5+\varepsilon}$$
  (Sous certaines conditions sur la factorisation de $q$, cette borne peut être améliorée jusqu'à $(q(|t|+1))^{3/5+\varepsilon}$, dépassant la borne de convexité $3/4$).
  Plus précisément, si $q$ possède un diviseur $q_1$ tel que $(q_1, q/q_1)=1$, la borne est :
  $$\ll (q(|t|+1))^{3/5+\varepsilon} \left( 1 + \frac{q^{2/5}}{q_1^{1/2}(|t|+1)^{1/10}} + \dots \right)$$
  Cela généralise et améliore les travaux antérieurs de Li (2011) et Blomer (2012).

• Cas $GL_3 \times GL_2$ (Valeurs centrales) :
  Pour une forme $f$ de $GL_2$ (Maaß ou holomorphe) de poids $k_f$ et niveau $q_2$, ils obtiennent des bornes de la forme :
  $$L(1/2, F \otimes f) \ll (q k_f)^{6/5+\varepsilon} \times (\text{facteurs de correction})$$
  Ces bornes sont hybrides en $q$ et $k_f$ (ou $t_f$).

Théorème 1.2 : Bornes pour les Moments

Le résultat technique central est une borne pour le moment moyen de la famille de fonctions L, qui implique la borne individuelle via la non-négativité des valeurs centrales (pour $F$ autoduale).
$$\sum \int |L(1/2+it, F \otimes \psi)|^2 \dots \ll (q_1 T)^{5/4} q_2^{1/2} U^{-1/4} (qT)^\varepsilon$$
Cette borne est optimale par rapport à la méthode du premier moment, compte tenu des bornes connues pour le second moment de $GL_3$.

Cas des Séries d'Eisenstein (Théorème 11.1 et 11.3)

Les auteurs étendent leur méthode au cas où $F$ est une série d'Eisenstein minimale. Cela permet d'obtenir des bornes de sous-convexité de force de Weyl ($1/6+\varepsilon$) pour les fonctions L de Dirichlet tordues, généralisant les travaux de Petrow et Young.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Formule de Réciprocité Explicite : La dérivation d'une formule de réciprocité spectrale exacte pour le cas de niveau arbitraire ($q_1, q_2$) et pour des formes de cusp $GL_3$ est une avancée majeure. Elle évite les difficultés techniques liées à la longueur des équations fonctionnelles approchées dans les approches traditionnelles.
2. Traitement du Niveau Non-Sans-Facteur-Carré : Contrairement à certaines approches précédentes qui nécessitaient que le conducteur soit sans facteur carré (squarefree), cette méthode fonctionne pour tout entier $q$, grâce à l'analyse fine des sommes de caractères et des facteurs d'Euler.
3. Borne de Moment sur un Coset : La preuve d'une borne de Lindelöf en moyenne pour le second moment des fonctions L de Dirichlet restreintes à un coset (Théorème 9.7) est un résultat indépendant crucial qui permet de surmonter les obstacles liés aux caractères exceptionnels.
4. Optimalité Conditionnelle : Les bornes obtenues sont décrites comme la "limite naturelle" de la méthode du premier moment. Toute amélioration supplémentaire nécessiterait une amélioration des bornes pour le second moment des fonctions L de $GL_3$ (au-delà de la borne actuelle de $3/2$).

5. Signification et Impact

Ce travail représente une avancée significative dans la théorie des nombres analytique, en particulier dans l'étude des fonctions L de rang supérieur.

• Amélioration des Exposants : Il améliore les exposants de sous-convexité pour les fonctions L de rang 3 tordues, passant de $3/4$ à $3/5$ (ou mieux selon la structure de $q$), ce qui est un gain substantiel.
• Unification : Il unifie les aspects $q$ et $t$ (et les paramètres de $GL_2$) dans un cadre hybride cohérent.
• Applications Potentielles : Ces bornes ont des implications pour la distribution des valeurs des fonctions L, les problèmes de non-annulation, et potentiellement pour la conjecture de Ramanujan et l'équidistribution de points géométriques (comme les points de Heegner), bien que l'article se concentre principalement sur l'aspect analytique pur.
• Méthodologie : La technique de réciprocité spectrale développée ici ouvre la voie à l'application de méthodes similaires à d'autres problèmes de moments de fonctions L de rang supérieur, offrant une alternative puissante aux méthodes de delta ou aux équations fonctionnelles approchées.

En résumé, cet article établit de nouvelles bornes de référence pour la sous-convexité hybride des fonctions L de $GL_3$ en introduisant une formule de réciprocité spectrale sophistiquée et en résolvant des problèmes techniques liés aux niveaux composés et aux caractères exceptionnels.