Universally defined cycles I

Résumé technique : Cycles universellement définis I

Énoncé du problème
L'article traite de la généralisation de la conjecture de Franchetta aux variétés algébriques de dimension supérieure. La conjecture de Franchetta classique affirme que pour un fibré en droites sur la courbe universelle sur l'espace de modules des courbes, la restriction à n'importe quelle fibre est un multiple rationnel du fibré canonique. L'extension de cela aux dimensions supérieures se heurte à l'obstacle fondamental qu'un espace de modules universel pour les variétés de dimension fixe n'existe pas. Pour contourner cela, l'auteur introduit et étudie la notion de « cycles universellement définis ». Il s'agit d'assignations de cycles algébriques à des morphismes lisses qui satisfont des axiomes de compatibilité spécifiques concernant le changement de base et les restrictions ouvertes, indépendamment de l'existence d'un espace de modules global.

La question centrale est de savoir si de tels cycles universellement définis sur des variétés lisses de dimension $d$ sont nécessairement donnés par des polynômes universels dans les classes de Chern de la variété. Bien que cela soit connu pour les courbes, le cas des dimensions supérieures présente des difficultés significatives en raison de l'absence d'espace de modules et de la complexité des groupes de Chow.

Méthodologie
L'article emploie une approche géométrique centrée sur l'étude des familles universelles d'intersections complètes. La stratégie de base comprend les étapes suivantes :

1. Réduction aux intersections complètes : L'auteur utilise un résultat (Proposition 2.1) montrant que pour une variété $X$ plongée dans une Grassmannienne, le groupe de Chow de $X$ peut être récupéré à partir du groupe de Chow d'une famille d'intersections complètes contenant $X$ comme composante, à condition que la dimension de l'espace de paramètres soit suffisamment grande. Cela repose sur l'injectivité du morphisme de tiré en arrière et de restriction de l'espace ambiant vers le complément d'une hypersurface déterminant universelle.
2. Familles universelles : La preuve construit des familles universelles d'intersections complètes lisses $X^0_{d,N,l}$ au sein d'une Grassmannienne $G(d, N)$. En analysant les groupes de Chow de ces familles universelles, l'auteur démontre que tout cycle universellement défini sur celles-ci doit être exprimable comme un polynôme dans les classes de Chern relatives.
3. Indépendance des paramètres : Une étape technique cruciale consiste à prouver que les coefficients de ces polynômes sont indépendants du degré $l$ des intersections complètes et ne dépendent que de la dimension $d$. Ceci est réalisé en construisant des variétés de test spécifiques (en utilisant des variétés abéliennes et des produits d'espaces projectifs) où les classes de Chern ne satisfont aucune relation polynomiale non triviale jusqu'à un certain degré pondéré.
4. Extension aux produits et aux puissances : La méthodologie est étendue aux produits de variétés et aux puissances de variétés ($X^k$). Pour les produits, l'auteur prouve que les cycles universellement définis sont des polynômes dans les classes de Chern des facteurs individuels. Pour les puissances, il introduit un cadre combinatoire impliquant des partitions de l'ensemble $\{1, \dots, k\}$ et des morphismes diagonaux $\Delta_I$.

Contributions clés et résultats

• Théorème 1.4 (Résultat principal pour les variétés) : L'article prouve que tout cycle universellement défini sur des variétés complexes lisses de dimension $d$ est donné par un polynôme unique à coefficients rationnels dans les classes de Chern $c_1, \dots, c_d$ de la variété. Cela établit un analogue de la conjecture de Franchetta pour les dimensions supérieures, montrant que le cycle est un multiple universel d'un polynôme dans les classes de Chern, indépendant de la variété spécifique ou du corps de définition.
• Théorème 1.7 (Résultat principal pour les produits) : Le résultat est généralisé aux produits de $r$ variétés lisses de dimensions $d_1, \dots, d_r$. Il est démontré qu'un cycle universellement défini sur de tels produits est déterminé de manière unique par un polynôme dans les classes de Chern des facteurs individuels, avec des contraintes de degré pondéré.
• Conjecture 1.8 (Forme standard pour les puissances) : L'article formule une conjecture pour les cycles universellement définis sur les $k$-ièmes puissances de variétés ($X^k$). Elle postule que tout cycle de ce type peut être exprimé de manière unique comme une somme sur les partitions $I$ de $\{1, \dots, k\}$, où chaque terme implique un morphisme diagonal $\Delta_I$ et un polynôme dans les classes de Chern des facteurs.
• Théorème 1.9 (Unicité pour les cycles standards) : L'auteur prouve que si un cycle universellement défini « standard » (satisfaisant la forme de la Conjecture 1.8) est cohomologiquement trivial pour toutes les variétés lisses, alors le cycle lui-même est nul dans le groupe de Chow. Cela établit l'unicité de la représentation pour les cycles standards.
• Théorème 3.4 : Un résultat d'unicité est prouvé pour la collection de polynômes définissant un cycle universellement défini sur les puissances, montrant que le cycle s'annule si et seulement si tous les polynômes définissants s'annulent.

Signification et affirmations
L'article prétend établir un résultat structurel fondamental pour les cycles algébriques dans les familles. En prouvant que les cycles universellement définis sont des polynômes dans les classes de Chern, l'auteur fournit un cadre rigoureux pour comprendre les cycles qui se comportent de manière fonctiorielle à travers les familles de variétés.

L'auteur note que la preuve de la Conjecture 1.8 (la forme explicite pour les puissances) demeure incomplète. Cependant, l'article souligne que la conjecture, si elle est vraie, aurait des conséquences significatives :

• Elle fournirait une preuve alternative du théorème d'Ellingsrud-Göttsche-Lehn concernant les anneaux de Chow des schémas de Hilbert de surfaces K3.
• Elle aurait un impact sur la conjecture de Beauville-Voisin sur l'anneau de Chow des schémas de Hilbert de surfaces K3, spécifiquement concernant les relations de commutation de Lehn.
• Les preuves actuelles dans [12] concernant les anneaux de Chow des schémas de Hilbert de surfaces K3 sont notées comme incomplètes car elles reposent sur l'impropre Conjecture 1.8.

L'article se positionne comme la première étape vers l'établissement de la Conjecture 1.8, fournissant les définitions nécessaires, la preuve pour le cas $k=1$ (Théorème 1.4), et la preuve de l'unicité pour le cas général. Le travail est décrit comme une étude du formalisme des cycles universellement définis, visant à clarifier la relation entre les cycles géométriques et les classes caractéristiques en l'absence d'un espace de modules global.