The holomorphic limit of Kahler manifolds

Résumé technique : La limite holomorphe des variétés kählériennes

Énoncé du problème
L'article traite de la stabilité de la propriété kählérienne sous déformations holomorphes. Plus précisément, il considère une famille lisse $\pi: X \to \Delta$ de variétés complexes compactes sur le disque unité $\Delta$, où les fibres $X_t$ sont kählériennes pour tout $t \in \Delta^* = \Delta \setminus \{0\}$. La question centrale est de savoir si la fibre centrale $X_0$ conserve la propriété kählérienne ou, plus largement, appartient à la classe de Fujiki $\mathcal{C}$ (la classe des variétés bimeromorphes à des variétés kählériennes). Bien que cela soit vrai pour les surfaces (par Kodaira et Siu), le contre-exemple de Hironaka démontre que cela échoue en dimension trois. L'article étudie les conditions sous lesquelles la limite $X_0$ reste dans la classe de Fujiki $\mathcal{C}$ ou est Moishezon (bimeromorphe à une variété projective).

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de géométrie analytique complexe, de techniques cohomologiques et de la théorie des courants. La méthodologie procède à travers plusieurs étapes clés :

1. Morphismes kählériens relatifs et cohomologie : L'article établit une condition suffisante et nécessaire pour qu'une famille lisse sur un domaine pseudoconvex soit un « morphisme kahlérien » (Définition 3.1). En utilisant la cohomologie des faisceaux de fonctions pluriharmoniques et la suite spectrale de Leray, l'auteur prouve que si les fibres sont kählériennes, l'existence d'une classe de cohomologie globale $\alpha \in H^2(X, \mathbb{R})$ se restreignant à une classe kählérienne sur chaque fibre est équivalente au fait que le morphisme soit kahlérien (Proposition 3.2).
2. Ouverture des classes kählériennes : En s'appuyant sur les travaux de Demailly et Păun sur les cônes kählériens et la théorie des variations des structures de Hodge, l'auteur démontre que si la famille est kählérienne en un point $t_0 \in \Delta^*$, il existe un sous-ensemble dense ouvert $U \subset \Delta^*$ où la restriction d'une classe globale $\alpha$ demeure une classe kählérienne (Théorème 3.6). Cela repose sur la compacité des espaces de cycles de Barlet relatifs et l'invariance du cône kahlérien par transport parallèle.
3. Courants et analyse du volume : L'outil analytique central implique l'étude des classes pseudo-effectives et de leurs volumes. L'auteur utilise le produit non-pluripolaire de courants et les théorèmes de régularisation de Demailly et Boucksom. Une étape critique consiste à construire une séquence de formes kählériennes sur les fibres $X_t$ ($t \in U$) qui converge faiblement vers un courant $T$ sur la fibre centrale $X_0$.
4. Inégalités de volume : En analysant la partie absolument continue du courant limite $T$ et en appliquant le lemme de Fatou ainsi que la continuité de la fonction de volume pour les classes pseudo-effectives, l'auteur dérive une borne inférieure pour le volume de la classe limite.

Contributions clés et résultats

• Théorème 1.2 (Théorème 4.3) : Le résultat principal stipule que si $\pi: X \to \Delta$ est une famille lisse avec des fibres kählériennes pour $t \in \Delta^*$, et si $\pi$ est un morphisme kahlérien en un certain point $t_0 \in \Delta^*$, alors il existe un courant $(1,1)$ positif et $d$-fermé $T$ sur la fibre centrale $X_0$ tel que son volume $\text{vol}_n(\{T\}) > 0$.

  • Signification : Ceci réduit la Conjecture 1.1 (que $X_0$ est dans la classe de Fujiki $\mathcal{C}$) à la conjecture de Boucksom-Demailly-Păun, qui pose que l'existence d'un tel courant à volume positif implique que la variété appartient à la classe de Fujiki $\mathcal{C}$.

• Corollaire 1.4 : Sous l'hypothèse supplémentaire que la fibre centrale $X_0$ admet une métrique hermitienne avec un volume supérieur fini (une condition connue pour être invariante par bimeromorphisme et satisfaite par les variétés de la classe de Fujiki $\mathcal{C}$), l'article prouve que $X_0$ est effectivement dans la classe de Fujiki $\mathcal{C}$.

• Corollaire 1.5 (Corollaire 4.6) : Dans le cas spécifique où les fibres $X_t$ pour $t \in \Delta^*$ sont projectives, l'article prouve que $X_0$ est Moishezon sans nécessuer de conditions auxiliaires (telles que l'invariance par déformation des nombres de Hodge).

  • Mécanisme : La preuve construit un fibré en droites global $L$ sur $X$ tel que $L|_{X_t}$ est ample pour $t$ dans un ensemble dense ouvert, et $L|_{X_0}$ est grand. Ceci est réalisé en élevant les classes de cohomologie intégrales via la suite exponentielle et en utilisant la semi-continuité supérieure des dimensions de cohomologie.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir une nouvelle voie vers la résolution de la Conjecture 1.1. En établissant l'existence d'un courant à volume positif sur la fibre centrale sous la condition modérée que la famille est kählérienne en un point voisin, ce travail comble le fossé entre la déformation de métriques kählériennes et la classification structurelle de la variété limite.

L'auteur note que la finitude du volume supérieur $\text{vol}_n(\omega)$ est un problème ouvert, mais comme aucun exemple de variétés avec un volume supérieur infini n'est connu, le théorème principal offre une preuve solide de la validité de la conjecture. De plus, le résultat pour les familles projectives (Corollaire 1.5) fournit une réponse définitive au problème de la limite Moishezon sans les conditions auxiliaires précédemment requises par d'autres chercheurs (par exemple, Popovici, Barlet, Rao-Tsai).

L'approche repose sur la synthèse des méthodes des travaux précédents (spécifiquement [23], [24], [14], et [6]) pour construire des objets cohomologiques globaux et analyser leur comportement sous dégénérescence, plutôt que d'introduire des cadres géométriques entièrement nouveaux. L'article reste modeste dans sa portée, se concentrant strictement sur la limite holomorphe de familles kählériennes et projectives sur un disque.