The tower property on the genericity of global theta lifts

Résumé Technique : La Propriété de Tour sur la Généricité des Relevés Theta Globaux

Énoncé du Problème
L'article étudie le comportement des relevés theta globaux entre paires duales de groupes classiques réductifs, en se concentrant spécifiquement sur la préservation de la généricité (l'existence de périodes de Whittaker non nulles) à travers la « tour de Witt » des espaces. Alors que la propriété de tour de Rallis (établie dans les années 1980) a résolu les questions de cuspidalité et de non-annulation pour les relevés theta globaux, le comportement spécifique de la généricité — à savoir si la première occurrence d'un relevé non nul préserve la nature générique de la représentation source — restait une question ouverte centrale. Les auteurs visent à déterminer les conditions précises sous lesquelles la première occurrence d'un relevé theta global est générique, étendant ainsi des résultats antérieurs souvent limités aux groupes déployés ou aux représentations « fortement génériques ».

Méthodologie
Les auteurs emploient une synthèse de techniques locales et globales ancrées dans la théorie des formes automorphes :

1. Analyse Locale (Annulation des Relevés Theta) :

   • L'article calcule les modules de Jacquet tordus de la représentation de Weil locale par rapport à des sous-groupes unipotents et des caractères spécifiques (types de Bessel et de Fourier-Jacobi).
   • En analysant l'action de la représentation de Weil sur des modèles mixtes, les auteurs prouvent que les relevés theta locaux s'annulent dans certaines plages (spécifiquement lorsque la dimension de l'espace cible est trop grande par rapport à la source). Cela établit les bornes de la « première occurrence ».

2. Intégrales de Périodes Globales et Fonctions L :

   • La stratégie centrale consiste à relier la non-annulation des relevés theta globaux aux propriétés analytiques des fonctions L (spécifiquement les pôles en $s=1$ ou $s=1/2$).
   • Les auteurs construisent des intégrales de Rankin-Selberg (modifiées par rapport à la littérature existante pour convenir aux groupes quasi-déployés) qui se développent pour représenter des fonctions L partielles.
   • Ils établissent des identités entre ces intégrales globales et des périodes de Bessel spéciales (pour les groupes orthogonaux) et des périodes de Fourier-Jacobi spéciales (pour les groupes symplectiques/métaplectiques).

3. La Formule du Produit Scalaire de Rallis :

   • Pour relier la non-annulation du relevé theta au pôle de la fonction L, les auteurs utilisent la formule du produit scalaire de Rallis dans la plage de la première occurrence.
   • Crucialement, ils intègrent la théorie des intégrales de zêta locales de doublement développée par Yamana. Cela leur permet de déduire que la non-annulation du relevé implique la généricité sans exiger que le relevé lui-même soit générique a priori, une condition que les méthodes précédentes (reposant sur la comparaison des facteurs L locaux) nécessitaient souvent.

4. Traitement des Groupes Quasi-Déployés vs Déployés :

   • L'article aborde les subtilités techniques découlant du travail avec des groupes orthogonaux quasi-déployés mais non déployés ($SO_{2n}$ où le discriminant est non trivial), distinguant leur approche des travaux antérieurs sur les groupes déployés.
   • Ils utilisent des foncteurs de restriction et d'induction pour transférer les résultats entre les groupes orthogonaux ($O_{2n}$) et les groupes orthogonaux spéciaux ($SO_{2n}$), prouvant que la généricité est préservée sous ces opérations.

Contributions et Résultats Clés

1. Propriété de Tour Généralisée pour la Généricité :
   L'article établit une description complète de la généricité des relevés theta globaux dans la tour de Witt pour les paires duales $(O_{2n}, Sp_{2m})$ et $(O_{2n+1}, \widetilde{Sp}_{2m})$.

   • Théorèmes 1.2 et 1.3 : Pour une représentation automorphe cuspidale générique $\pi$ (ou $\sigma$), l'indice de première occurrence $l(\pi)$ est strictement borné (par exemple, $n_0 - 1 \le l(\pi) \le n_0$ pour $SO_{2n_0}$).
   • Préservation de la Généricité : Le premier relevé theta non nul $\Theta(\pi)$ est toujours générique.
   • Non-Généricité des Occurrences Supérieures : Les relevés se produisant aux indices $i \ge l(\pi) + 2$ sont non génériques. Les relevés à $l(\pi) + 1$ sont génériques si et seulement si l'indice de première occurrence est la borne inférieure de la plage possible.

2. Équivalence des Conditions :
   Les auteurs prouvent une série d'équivalences (Théorèmes 5.2 et 7.1) reliant :

   • L'existence d'un pôle dans la fonction L partielle $L_S(s, \pi)$ (ou $L_S(s, \sigma \times \chi)$).
   • La non-annulation des périodes de Bessel spéciales ou de Fourier-Jacobi.
   • La non-annulation et la généricité du relevé theta global vers l'espace de première occurrence.
   • La simple non-annulation du relevé theta global (ce qui implique la généricité dans la plage de première occurrence).

3. Extension aux Groupes Quasi-Déployés et Métaplectiques :

   • Les résultats étendent le travail de Ginzburg, Rallis et Soudry (GRS97) et de Furusawa (Fu95) des groupes déployés aux groupes classiques quasi-déployés.
   • L'article fournit de nouveaux résultats pour la paire duale $(\widetilde{Sp}_{2m}, SO_{2n+1})$, un cas non abordé précédemment dans la littérature concernant la généricité.
   • Il affaiblit l'hypothèse de « fortement générique » requise dans les travaux antérieurs, s'appliquant à la classe plus large des représentations génériques.

4. Application à la Conjecture de Gan-Gross-Prasad (GGP) :
   Comme application directe, les auteurs prouvent la conjecture GGP tempérée globale pour la paire $(SO_{2n+1}, SO_2)$ sous l'hypothèse que $SO_2$ est déployé et que la représentation est triviale. Ils montrent que la non-annulation de la période de Bessel est équivalente à la non-annulation de la valeur centrale de la fonction L $L(1/2, \pi)$.

Signification et Revendications
L'article revendique de fournir un cadre unifié pour comprendre la généricité des relevés theta à travers les groupes orthogonaux, symplectiques et métaplectiques. Sa signification réside dans :

• L'achèvement du Programme de Rallis : Il résout l'aspect généricité de la correspondance theta globale, complétant les travaux antérieurs de Rallis sur la cuspidalité.
• Avancement Méthodologique : En utilisant la formule du produit scalaire de Rallis combinée à la méthode de doublement de Yamana, les auteurs contournent la nécessité de supposer la généricité du relevé, permettant une déduction plus robuste de la généricité à partir de la non-annulation.
• Élargissement du Périmètre : Les résultats s'appliquent aux groupes quasi-déployés et aux revêtements métaplectiques, comblant des lacunes dans la littérature où les résultats antérieurs étaient restreints aux cas déployés ou à des types de représentations spécifiques.
• Vérification de la GGP : Il offre une nouvelle preuve de la conjecture GGP pour un cas spécifique ($SO_{2n+1} \times SO_2$) en exploitant le lien établi entre les relevés theta, les périodes et les fonctions L.

Les auteurs notent que, bien que leur focus porte sur les groupes classiques et métaplectiques, les méthodes devraient s'étendre aux groupes unitaires, bien qu'ils limitent la discussion actuelle aux contextes orthogonal et symplectique pour plus de clarté. Ils reconnaissent également que la conjecture GGP non tempérée pour les groupes symplectiques reste un sujet pour un travail futur.