On the baroclinic instability of inviscid non-conducting Boussinesq equations with rotation in 3-D

1. Problématique et Contexte

L'article étudie l'instabilité baroclinique non linéaire d'un écoulement de cisaillement vertical dans le cadre des équations de Boussinesq tridimensionnelles, non visqueuses et non conductrices, incluant la rotation de la Terre.

• Système gouvernant : Les auteurs considèrent le système (1.1) décrivant les écoulements atmosphériques et océaniques à grande échelle, caractérisé par un nombre de Rossby ($Ro$) petit mais non nul. Le domaine est défini par des conditions aux limites rigides aux plans $z=0$ et $z=1$.
• Écoulement de base : L'étude se concentre sur un écoulement de cisaillement spécifique (modèle d'Eady) :
  $$U = (z, 0, 0), \quad \Theta = -y, \quad P = -yz$$
  Cet écoulement est connu pour être instable en régime linéaire lorsque les surfaces de densité constante et de pression constante ne sont pas parallèles (instabilité baroclinique).
• Défi mathématique :
  • Lorsque $Ro = 0$, le système se réduit au modèle limite géostrophique, qui peut être formulé comme une seule équation pour la pression. L'instabilité linéaire est bien comprise dans ce cas.
  • Lorsque $Ro > 0$ (mais petit), le système ne peut plus être réduit à une seule équation pour la pression. La présence de termes d'inertie et de rotation rend l'analyse de l'instabilité non linéaire beaucoup plus complexe, car les modes de croissance ne peuvent pas être facilement isolés directement du système linéarisé complet.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche novatrice combinant l'analyse asymptotique et la construction de solutions approchées, s'éloignant des méthodes classiques de Guo-Strauss ou de Grenier qui reposent souvent sur l'analyse spectrale directe du système linéarisé pour $Ro \neq 0$.

Étapes clés de la preuve :

1. Analyse du modèle limite géostrophique ($Ro = 0$) :

   • Les auteurs commencent par vérifier l'existence de modes croissants (instables) dans le modèle limite géostrophique non linéaire.
   • En utilisant des modes normaux, ils démontrent que pour certaines conditions sur le nombre de Burger ($B$) et les nombres d'onde ($\alpha, \beta$), le système admet une solution croissante exponentiellement de la forme $e^{\alpha \Im(c)t}$.
   • Ils prouvent que ce mode croissant existe également dans le système non linéaire limite ($Ro=0$).

2. Construction d'une solution approchée pour $Ro > 0$ :

   • Au lieu de chercher les modes propres du système complet avec $Ro \neq 0$, ils construisent une solution approchée $u_{app}$ basée sur le modèle géostrophique non linéaire.
   • La solution est développée sous forme d'une série asymptotique en puissances du nombre de Rossby :
     $$u = U + u_N + u_e, \quad \text{où } u_e = Ro \cdot u^{(1)}_e + Ro^2 \cdot u^{(2)}_e + \dots$$
   • Le terme dominant $u_N$ correspond à la solution du modèle géostrophique non linéaire (incluant le profil croissant). Les termes d'ordre supérieur ($u^{(i)}_e$) sont déterminés de manière itérative pour compenser les erreurs introduites par le terme $Ro$.

3. Estimation des termes d'erreur :

   • Ils définissent l'erreur $u' = u_{exact} - u_{app}$ et établissent des équations d'erreur (3.6)-(3.10).
   • En utilisant des estimations d'énergie dans les espaces de Sobolev ($H^m$) et des inégalités de type Grönwall, ils montrent que le terme d'erreur reste petit ($O(Ro^k)$) sur un intervalle de temps spécifique.
   • Une estimation de pression (Proposition 3.1) est utilisée pour contrôler les termes de pression dans les estimations d'énergie.

4. Preuve de l'instabilité non linéaire :

   • L'instabilité est démontrée en montrant que la croissance du profil dominant (issu du modèle $Ro=0$) domine le terme d'erreur sur un temps caractéristique $T^\delta$.
   • Le temps d'instabilité est estimé à $T^\delta = O(\log(\eta/\delta))$, où $\delta$ est la taille de la perturbation initiale et $\eta$ une amplitude seuil.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est énoncé dans le Théorème 1.1 :

• Hypothèse : Pour un nombre de Rossby $Ro > 0$ petit et une perturbation initiale de taille $\delta$ dans la norme $L^2$.
• Condition : Si le paramètre de stabilité $q$ (dépendant du nombre de Burger et des nombres d'onde) est inférieur à une valeur critique $q_c \approx 1.2$, alors l'écoulement est instable.
• Conclusion : Il existe un temps $T^\delta$ tel que la norme $L^2$ de la perturbation dépasse une valeur $\eta$ (où $\eta > \delta$), prouvant ainsi l'instabilité non linéaire.
  $$\sup_{0 \le t \le T^\delta} \|(u^*, \theta^*)(\cdot, t)\|_{L^2} \ge \eta$$
• Mécanisme : L'instabilité est pilotée par les conditions aux limites physiques (les parois rigides), qui permettent l'existence de modes de croissance, même dans le régime non linéaire avec rotation rapide.

4. Contributions Clés

1. Extension à $Ro \neq 0$ : C'est la première preuve rigoureuse de l'instabilité non linéaire baroclinique pour le système de Boussinesq 3D avec rotation et $Ro$ petit mais non nul. La plupart des travaux précédents se limitaient au cas $Ro=0$ ou à des modèles linéaires.
2. Nouvelle approche de construction : L'article évite la difficulté de l'analyse spectrale directe du système linéarisé pour $Ro \neq 0$ (qui ne se réduit pas à une seule équation). Au lieu de cela, il utilise le modèle limite géostrophique comme "squelette" pour construire la solution approchée, validant ainsi que l'instabilité du modèle limite persiste dans le système complet.
3. Gestion des singularités multi-échelles : L'article aborde la difficulté liée à la limite singulière multi-échelle (où les termes de Coriolis dominent) et fournit des estimations précises dans les espaces de Sobolev pour contrôler l'erreur asymptotique.

5. Signification et Implications

• Validation physique : Ce travail confirme mathématiquement que l'instabilité baroclinique, un mécanisme fondamental en météorologie pour la formation des dépressions et des cyclones, persiste dans les modèles complets de rotation rapide, et pas seulement dans les approximations géostrophiques.
• Théorie mathématique : Il comble un vide dans la théorie de la stabilité des fluides géophysiques, en particulier pour les écoulements inviscides où la dissipation ne peut pas être utilisée pour stabiliser l'écoulement.
• Limites et perspectives : Les auteurs notent que leur résultat est en norme $L^2$ et non $L^\infty$, en raison des difficultés liées à la limite singulière multi-échelle dans la norme uniforme. Ils suggèrent que la résolution de ce problème de limite singulière $L^\infty$ est une direction de recherche future.

En résumé, cet article fournit une preuve rigoureuse que les écoulements de cisaillement dans les fluides géophysiques en rotation rapide sont intrinsèquement instables de manière non linéaire, en utilisant une méthode astucieuse de construction de solutions approchées basée sur le modèle géostrophique.