On the optimal sets in Pólya and Makai type inequalities

1. Problématique et Contexte

L'article se concentre sur l'analyse de fonctionnels de forme définis sur des ensembles ouverts, bornés et convexes $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$). Ces fonctionnels combinent deux grandeurs spectrales et géométriques fondamentales :

• La rigidité de torsion $T(\Omega)$.
• La première valeur propre de l'opérateur de Laplace avec conditions de Dirichlet $\lambda(\Omega)$.

Les auteurs étudient quatre fonctionnels spécifiques introduits par Pólya et Makai :

1. Fonctionnel de torsion de Pólya : $J_1(\Omega) = \frac{T(\Omega)P^2(\Omega)}{|\Omega|^3}$
2. Fonctionnel de valeur propre de Pólya : $J_2(\Omega) = \frac{\lambda(\Omega)|\Omega|^2}{P^2(\Omega)}$
3. Fonctionnel de Makai : $J_3(\Omega) = \frac{T(\Omega)}{R_\Omega^2 |\Omega|}$
4. Fonctionnel de Hersch : $J_4(\Omega) = \lambda(\Omega)R_\Omega^2$

où $P(\Omega)$ est le périmètre, $|\Omega|$ la mesure de Lebesgue, $R_\Omega$ le rayon intérieur (inradius) et $w_\Omega$ la largeur minimale.

Le problème central :
Contrairement aux inégalités classiques (comme celle de Faber-Krahn ou de Saint-Venant) où la boule est l'unique optimiseur, les bornes pour les fonctionnels ci-dessus ne sont pas atteintes par un ensemble fixe. Elles sont atteintes asymptotiquement par des séquences d'ensembles dégénérés (par exemple, des cylindres plats ou des rectangles amincis).
L'objectif est d'établir des inégalités quantitatives (avec termes de reste) qui caractérisent le comportement de ces séquences minimisantes, en l'absence d'un optimiseur unique.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant l'analyse variationnelle, la géométrie convexe et les propriétés des fonctions de distance.

• Définition des termes de reste : Deux grandeurs géométriques sont introduites pour mesurer l'écart à l'optimalité :
  • $\alpha(\Omega) = \frac{w_\Omega}{\text{diam}(\Omega)}$ : Mesure l'« amincissement » du domaine (tend vers 0 pour des domaines plats).
  • $\beta(\Omega) = \frac{P(\Omega)R_\Omega}{|\Omega|} - 1$ : Une mesure géométrique pure liée au rapport périmètre-rayon/mesure.
• Fonction de distance et ensembles parallèles intérieurs :
  • Utilisation de la fonction de distance au bord $d(x, \partial\Omega)$.
  • Étude des ensembles de niveau (ensembles parallèles intérieurs) $\Omega_t = \{x \in \Omega : d(x, \partial\Omega) > t\}$.
  • Application de la formule de coaire et de l'inégalité de Brunn-Minkowski pour établir des relations entre la mesure $\mu(t)$ et le périmètre $P(t)$ de ces ensembles.
• Fonctions tests :
  • Pour les bornes inférieures, les auteurs construisent des fonctions tests spécifiques basées sur la fonction de distance (méthode de Pólya) pour estimer $T(\Omega)$ et $\lambda(\Omega)$.
  • Pour les bornes supérieures, ils utilisent des inégalités existantes (Makai, Hersch-Protter) et les affinent en contrôlant les termes d'erreur via $\beta(\Omega)$.
• Lemme technique clé (Lemme 3.1) : Estimation de la mesure et du périmètre d'un ensemble parallèle intérieur spécifique (au niveau $t = |\Omega|/P(\Omega)$) en fonction de $\beta(\Omega)$. Ce lemme est crucial pour lier la géométrie du domaine aux valeurs des fonctionnels.

3. Résultats Principaux

Les résultats principaux sont des inégalités quantitatives reliant l'écart des fonctionnels à leurs bornes optimales avec les termes de reste $\alpha(\Omega)$ et $\beta(\Omega)$.

A. Relation entre les termes de reste

Proposition 1.1 : Il existe une constante $C_0(n)$ telle que $\beta(\Omega) \ge C_0(n) \alpha(\Omega)$.

• Signification : Toute séquence minimisante pour $\beta$ doit être une séquence de domaines amincis ($\alpha \to 0$). Cependant, la réciproque est fausse (il existe des séquences où $\alpha \to 0$ mais $\beta \not\to 0$, comme des pyramides effondrées).

B. Caractérisation par $\beta(\Omega)$ (Théorèmes 1.2, 1.3, 1.4)

Les auteurs établissent des bornes bilatérales précises pour les trois premiers fonctionnels en fonction de $\beta(\Omega)$ :

1. Fonctionnel de Pólya (Torsion) :
   $$\frac{1}{23 \cdot 3^4 n^3} \beta(\Omega)^3 \le \frac{T(\Omega)P^2(\Omega)}{|\Omega|^3} - \frac{1}{3} \le \frac{n+1}{3} \beta(\Omega)$$

   • L'exposant 3 pour la borne inférieure est optimal.

2. Fonctionnel de Pólya (Valeur propre) :
   $$\frac{\pi^2}{25 \cdot 3^4 \cdot n^3(2n-1)} \beta(\Omega)^4 \le \frac{\pi^2}{4} - \frac{\lambda(\Omega)|\Omega|^2}{P^2(\Omega)} \le \frac{\pi^2}{2} \beta(\Omega)$$

   • L'exposant 4 pour la borne inférieure est optimal.

3. Fonctionnel de Makai :
   $$\frac{n+1}{3n(2n-1)} \beta(\Omega) \le \frac{1}{3} - \frac{T(\Omega)}{R_\Omega^2 |\Omega|} \le \frac{2}{3} \beta(\Omega)$$

   • Ici, les exposants sont linéaires (1) des deux côtés, ce qui caractérise parfaitement la séquence minimisante.

Conclusion clé : Une séquence est minimisante pour ces fonctionnels si et seulement si elle minimise $\beta(\Omega)$.

C. Caractérisation par $\alpha(\Omega)$ (Proposition 1.5)

Les auteurs prouvent que pour les fonctionnels de torsion et de valeur propre de Pólya, on peut aussi obtenir des bornes inférieures avec $\alpha(\Omega)$ à la puissance 1 :
$$\frac{T(\Omega)P^2(\Omega)}{|\Omega|^3} - \frac{1}{3} \ge C_1(n) \alpha(\Omega)$$
$$\frac{\pi^2}{4} - \frac{\lambda(\Omega)|\Omega|^2}{P^2(\Omega)} \ge C_2(n) \alpha(\Omega)$$
Cela confirme la conjecture que l'exposant optimal dans les inégalités précédentes (basées sur $\alpha$) est bien 1.

D. Fonctionnel de Hersch

Pour le fonctionnel de Hersch, les auteurs montrent que $\beta(\Omega)$ ne peut pas servir de borne inférieure directe (car $\beta$ peut tendre vers 0 sans que le fonctionnel tende vers sa borne inférieure dans certains cas pathologiques comme les pyramides). Ils déduisent une borne supérieure en termes de $\beta(\Omega)$ :
$$\lambda(\Omega)R_\Omega^2 - \frac{\pi^2}{4} \le \frac{\pi^2(n+1)}{4} \beta(\Omega)$$

4. Contributions et Significativité

• Résolution du problème d'absence d'optimum : L'article fournit un cadre rigoureux pour l'analyse de stabilité quantitative lorsque l'optimum n'est pas atteint dans la classe des ensembles convexes, mais seulement à la limite.
• Caractérisation géométrique : Les résultats montrent que le comportement asymptotique de ces fonctionnels spectraux est entièrement dicté par la géométrie du terme $\beta(\Omega)$. Cela permet de dire qu'une séquence est minimisante pour Pólya ou Makai si et seulement si elle est minimisante pour $\beta$.
• Optimalité des exposants : Les auteurs ne se contentent pas de donner des inégalités ; ils prouvent que les exposants des termes de reste (1, 3, 4) sont optimaux en construisant des contre-exemples (séquences de parallélépipèdes amincis et de pyramides effondrées).
• Nouveaux outils techniques : L'utilisation combinée de la fonction de distance, des ensembles parallèles intérieurs et de l'inégalité de Brunn-Minkowski pour estimer les termes de reste dans les intégrales de torsion et de Laplace représente une avancée méthodologique.

5. Conclusion et Perspectives

Les auteurs concluent que les théorèmes 1.2, 1.3 et 1.4 caractérisent complètement les séquences optimisantes de ces fonctionnels via la géométrie de $\beta(\Omega)$.
Une question ouverte majeure reste la description précise de la forme de ces séquences minimisantes. Bien que l'on sache qu'elles ressemblent à des cylindres effondrés (perdant une dimension), une caractérisation plus fine de leur profil géométrique à partir de l'expression explicite de $\beta$ est encore à découvrir.