On the images of higher signature maps

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la géométrie algébrique réelle. Il vise à comprendre l'image de la classe de cycle réelle quadratique (ou quadratic real cycle class map), notée $\tilde{\gamma}^c_R(X, L)$, qui est un analogue réel de la célèbre application de classe de cycle complexe.

• Le contexte complexe : Pour une variété complexe projective $X$, l'application de classe de cycle $\gamma^c_C$ envoie le groupe de Chow $CH^c(X)$ vers la cohomologie singulière $H^{2c}(X(\mathbb{C}), \mathbb{Z})$. L'image est décrite par la conjecture de Hodge (pour les classes $(c,c)$).
• Le contexte réel : Pour une variété lisse $X$ sur $\mathbb{R}$, le lieu réel $X(\mathbb{R})$ est une variété différentielle qui n'admet pas nécessairement d'orientation à valeurs entières. Par conséquent, on ne peut pas définir directement une application de classe de cycle à valeurs dans $H^c(X(\mathbb{R}), \mathbb{Z})$ en utilisant les méthodes classiques de poussée en avant (pushforward).
• Les approches existantes :
  • L'application de Borel-Haefliger $\gamma^c_{BH}$ à valeurs dans $H^c(X(\mathbb{R}), \mathbb{Z}/2)$ est bien connue mais l'information modulo 2 est trop grossière.
  • L'application équivariante $\gamma^c_G$ (Krasnov, Benoist-Wittenberg) utilise la cohomologie équivariante de $X(\mathbb{C})$ sous l'action de la conjugaison complexe.
  • L'approche de l'auteur utilise la théorie de l'homotopie motivique pour définir une application à valeurs entières en relevant les groupes de Chow vers les groupes de Chow-Witt $\widetilde{CH}^c(X, L)$.

Le problème central : Déterminer précisément l'image de l'application $\tilde{\gamma}^c_R(X, L) : \widetilde{CH}^c(X, L) \to H^c(X(\mathbb{R}), \mathbb{Z}(L))$. L'hypothèse naïve de surjectivité est fausse (obstruction topologique déjà pour les composantes connexes des courbes). L'objectif est de formuler une conjecture précise sur l'image en termes de l'exposant du conoyau.

2. Méthodologie

L'auteur utilise un arsenal d'outils de la géométrie algébrique moderne et de la théorie des formes quadratiques :

1. Théorie de l'homotopie $\mathbb{A}^1$ et modules d'homotopie : Utilisation des faisceaux strictement $\mathbb{A}^1$-invariants (Morel) et des complexes de Rost-Schmid pour calculer la cohomologie des faisceaux.
2. Théorie de Witt et K-théorie de Milnor-Witt :
   • Utilisation des groupes de Chow-Witt $\widetilde{CH}^c(X, L) \cong H^c(X, KMW_c(L))$.
   • Lien avec les puissances de l'idéal fondamental $I^n$ de l'anneau de Witt $W(X)$.
   • Utilisation de la conjecture de Milnor (Voevodsky, Rost, Voevodsky) pour identifier $I^n/2$ avec la cohomologie étale $H^n_{\text{ét}}(-, \mathbb{Z}/2)$.
3. Application de signature de Jacobson : L'outil clé est l'isomorphisme de Jacobson $\text{sign}_\infty : I_\infty(L) \xrightarrow{\sim} \iota_* \mathbb{Z}(L)$, où $\iota : X(\mathbb{R}) \hookrightarrow X$. Cela permet de relier la cohomologie des faisceaux $I^n$ sur $X$ à la cohomologie singulière sur $X(\mathbb{R})$.
4. Réduction par dimension et induction : L'analyse se concentre sur les cas critiques $c \in \{0, d-2, d-1, d\}$ (où $d = \dim X$). L'auteur utilise des suites exactes de faisceaux et des propriétés de transfert pour réduire l'étude de l'application quadratique à celle des applications modulo 2 (Borel-Haefliger) et des noyaux/cokernels de multiplication par $\langle\langle -1 \rangle\rangle$.

3. Contributions et Résultats Clés

A. Définition et propriétés de l'application quadratique

L'auteur définit rigoureusement l'application $\tilde{\gamma}^c_R(X, L)$ comme la composition :
$$\widetilde{CH}^c(X, L) \to H^c(X, I_c(L)) \xrightarrow{\text{sign}_c} H^c(X(\mathbb{R}), \mathbb{Z}(L))$$
Il montre que cette application affine l'application de Borel-Haefliger (le diagramme commute avec la réduction modulo 2).

B. Résultats pour les codimensions extrêmes

• Codimension $d$ (cycles de dimension 0) :
  • Théorème 3.5 : L'application $\gamma^d(X, L)$ est surjective. Elle est injective si $X$ n'est pas propre ou si $X(\mathbb{R}) \neq \emptyset$.
  • Cela généralise des résultats connus sur les points rationnels et les classes fondamentales.
• Codimension $d-1$ :
  • Proposition 4.4 : L'image de $\gamma^{d-1}(X, L)$ est exactement le sous-groupe des classes dont la réduction modulo 2 est algébrique (image de $\gamma^{d-1}_{BH}$).
  • Le conoyau a un exposant 2.
• Composantes connexes (Codimension 0) :
  • Théorème 5.1 & 5.3 : L'application $\gamma^0(X, L)$ n'est pas toujours surjective. Le conoyau a un exposant $2^d$.
  • Pour les courbes ($d=1$), l'image est caractérisée précisément (Théorème 5.6), généralisant un résultat de Knebusch.

C. Conjecture Raffinée sur l'Image

L'auteur propose la Conjecture 6.5 :

Pour toute variété lisse $X$ de dimension $d$ et tout $0 \le c \le d$, le conoyau de l'application $\tilde{\gamma}^c_R(X, L)$ a un exposant $2^{d-c}$.
De plus, cet exposant est optimal : il existe des variétés pour lesquelles le conoyau n'a pas un exposant plus petit ($2^{d-c-1}$).

Cela signifie que l'image contient le sous-groupe $2^{d-c} H^c(X(\mathbb{R}), \mathbb{Z}(L))$.

D. Preuves de la conjecture dans des cas spécifiques

Le théorème 6.6 établit que la conjecture est vraie pour :

• $c = d$ (surjectivité).
• $c = d-1$ (exposant 2).
• $c = 0$ (exposant $2^d$).
• $c = d-2$ sous une condition de vanishing de la cohomologie étale complexe ($H^{2d-1}_{\text{ét}}(X \times \mathbb{C}, \mathbb{Z}/2) = 0$).

Ces résultats couvrent complètement les courbes ($d=1$) et les surfaces ($d=2$), ainsi que de nombreux cas pour les variétés de dimension 3.

4. Signification et Implications

• Précision de l'approximation réelle : Ce travail quantifie précisément à quel point l'approximation des cycles algébriques réels par la cohomologie entière échoue. Contrairement au cas complexe où l'obstruction est purement de Hodge, ici l'obstruction est arithmétique et topologique, mesurée par des puissances de 2.
• Optimalité : L'auteur démontre que les bornes d'exposant ne peuvent pas être améliorées en général, en construisant des contre-exemples explicites (ex: $\mathbb{A}^d \setminus \{0\}$ pour $c=d-1$).
• Lien avec la conjecture de Hodge réelle : Ces résultats fournissent un cadre pour étudier la "conjecture de Hodge entière réelle" en termes d'exposants de torsion, offrant une alternative aux approches équivariantes de Benoist-Wittenberg.
• Perspectives futures : L'article suggère que l'image exacte pourrait être décrite via des conditions de vanishing de différentielles dans une suite spectrale de Bockstein ou de Pardon, reliant ainsi la géométrie algébrique réelle aux opérations de Steenrod.

En résumé, cet article établit une théorie cohérente et précise de l'image des classes de cycles en géométrie algébrique réelle, remplaçant l'incertitude par des bornes d'exposant optimales et vérifiées dans de nombreux cas géométriques importants.