Tensor-based empirical interpolation method and its application in model reduction

Résumé Technique : Méthode d'Interpolation Empirique Basée sur les Tenseurs et Son Application à la Réduction de Modèle

Énoncé du Problème
La Réduction d'Ordre de Modèle (ROM) est essentielle pour la simulation de systèmes dynamiques à grande échelle, en particulier ceux régis par des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Bien que des techniques telles que la Décomposition Orthogonale aux Propres Modes (POD) combinée à une projection de Galerkin réduisent efficacement les systèmes linéaires et bilinéaires, les termes non linéaires conservent souvent une dépendance vis-à-vis de la dimension du modèle d'ordre complet (MOC). Pour remédier à cela, la Méthode d'Interpolation Empirique Discrète (DEIM) et son prédécesseur, la Méthode d'Interpolation Empirique (EIM), ont été développées pour approximer les termes non linéaires à l'aide d'un petit ensemble de points d'interpolation.

Cependant, une limitation significative existe lorsque la non-linéarité est une fonction à valeurs matricielles (par exemple, issue de la discrétisation d'EDP 3D). Les approches conventionnelles nécessitent de vectoriser la matrice en un vecteur de haute dimension avant d'appliquer la DEIM. Cette vectorisation est computationnellement inefficace pour les grandes matrices, augmentant à la fois les coûts de calcul hors ligne et en ligne. Bien que certains chercheurs aient tenté des extensions basées sur les matrices, un cadre théorique rigoureux expliquant le fonctionnement, les limites et la structure optimale de telles méthodes faisait défaut.

Méthodologie
Les auteurs proposent la Méthode d'Interpolation Empirique Basée sur les Tenseurs (TEIM), une extension de l'EIM conçue spécifiquement pour approximer les fonctions à valeurs matricielles sans les transformer en forme vectorielle. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Construction de la Base POD Tensorelle : Au lieu de la POD vectorielle standard, la méthode utilise la Décomposition en Valeurs Singulières d'Ordre Supérieur (HOSVD) pour générer une base tensorelle (un ensemble de matrices de rang un $u_i \otimes v_j$) qui engendre l'espace des solutions. Cela évite la surcharge computationnelle liée à la vectorisation des grandes matrices.
2. Sélection des Points d'Interpolation (Algorithme TEIM) : L'article introduit un algorithme modifié pour sélectionner les points d'interpolation. Contrairement à la DEIM standard qui sélectionne des points arbitrairement sur une grille, l'algorithme TEIM sélectionne les indices de manière imbriquée et structurée.
3. Structure de Grille Rectangulaire : Une découverte théorique critique est que pour les bases tensorelles (ou les bases de matrices de rang un), l'algorithme TEIM sélectionne intrinsèquement des points d'interpolation formant une grille rectangulaire. Plus précisément, si $m_1 m_2$ points sont requis, l'algorithme sélectionne $m_1$ lignes et $m_2$ colonnes, en choisissant toutes les intersections.
4. Équivalence à la 2D-DEIM : Les auteurs démontrent mathématiquement que la méthode TEIM est équivalente à l'application de l'algorithme DEIM standard indépendamment aux matrices de base des lignes et des colonnes (une approche DEIM « bilatérale »). Cela permet de décomposer l'opérateur de masquage en deux opérateurs plus petits ($P_3$ et $P_4$) plutôt qu'en un seul grand opérateur agissant sur la matrice vectorisée.
5. Formule d'Approximation Efficace : L'approximation finale de la fonction matricielle $\tilde{A}(t)$ est dérivée sous une forme de produit matriciel :
   $$\tilde{A}(t) = U_1(P_5 U_1)^{-1} (P_5 A(t) P_6^T) (U_2(P_6 U_2)^{-1})^T$$
   où $P_5$ et $P_6$ sont les opérateurs de masquage dérivés respectivement des bases des lignes et des colonnes. Cette formulation évite entièrement la vectorisation lors de l'étape en ligne.

Contributions Clés

• Cadre Théorique : L'article établit une fondation théorique nécessaire pour l'interpolation basée sur les tenseurs, prouvant l'équivalence entre la TEIM proposée et l'application de la DEIM dans chaque direction.
• Caractérisation de la Grille Rectangulaire : Les auteurs démontrent que les méthodes d'interpolation basées sur les tenseurs reposant sur des bases de rang un sélectionnent inévitablement des points d'interpolation sur une grille rectangulaire. Cela identifie une limitation structurelle fondamentale de telles approches.
• Efficacité Computationnelle : En exploitant la structure de la grille rectangulaire, la méthode réduit la complexité computationnelle en ligne. Pour une matrice de taille $n_1 \times n_2$ avec $m_1$ lignes et $m_2$ colonnes sélectionnées, la complexité est de $O(n_1 n_2 m_2 + n_1 m_1 m_2)$ (ou similaire selon l'ordre d'évaluation), ce qui est significativement inférieur à la complexité $O(n_1 n_2 m_1 m_2)$ des approches DEIM vectorisées.
• Implémentation Algorithmique : L'article fournit un algorithme spécifique (Algorithme 1) pour sélectionner l'ensemble imbriqué de points d'interpolation qui assure l'inversibilité de l'opérateur de masquage.

Résultats et Expériences Numériques
Les auteurs valident la méthode à travers deux applications principales :

1. Approximation de Fonctions à Valeurs Matricielles :

   • Exemple 1 : Une fonction 2D non linéaire paramétrée. Les résultats montrent que lorsque la base POD tensorelle fournit un sous-espace d'approximation meilleur que la base POD vectorielle standard, la TEIM atteint des erreurs d'approximation inférieures à celles de la DEIM.
   • Exemple 2 : Une fonction dépendante du temps où la base POD standard surpasse la base tensorelle. Dans ce cas, la DEIM offre une meilleure précision. Cela met en évidence que le choix entre TEIM et DEIM dépend de laquelle des bases (tensorelle vs vectorielle) capture mieux la dynamique du système.
   • Chronométrage : La TEIM démontre systématiquement un temps CPU moyen inférieur à celui de la DEIM, même lorsque la précision est comparable.

2. Réduction de Modèle d'Équations Différentielles Matricielles Semi-Linéaires :

   • La méthode a été appliquée à l'équation d'Allen-Cahn 2D. Le modèle d'ordre réduit (MOR) a été construit en utilisant la POD tensorelle pour l'état et la TEIM pour le terme non linéaire.
   • Précision vs Efficacité : Dans le cas spécifique de l'équation d'Allen-Cahn testée, l'approche POD-DEIM standard (basée sur les vecteurs) a fourni une précision légèrement supérieure à l'approche TEIM. Cependant, l'approche TEIM a requis moins de ressources computationnelles.
   • Équations Différentielles Vectorielles : Lorsque l'équation matricielle a été convertie en forme vectorielle et réduite en utilisant la TEIM pour la non-linéarité, les résultats étaient comparables à la POD-DEIM, le choix de la méthode dépendant à nouveau de laquelle des bases offrait un sous-espace d'approximation supérieur.

Signification et Revendications
L'article affirme que la méthode TEIM offre une alternative computationnellement efficace à la vectorisation des fonctions à valeurs matricielles pour la réduction de modèle. Sa signification principale réside dans :

• Réduction de la Charge Computationnelle : Elle réduit considérablement les temps de calcul hors ligne et en ligne en évitant la vectorisation des grandes matrices.
• Insight Structurel : Elle clarifie que l'interpolation basée sur les tenseurs est structurellement contrainte aux grilles rectangulaires, ce qui simplifie l'implémentation en une approche DEIM bilatérale.
• Applicabilité Contextuelle : Les auteurs notent modestement que si la TEIM est plus efficace, sa précision par rapport à la DEIM dépend du problème. Si la dynamique du système est mieux capturée par une base tensorelle (comme dans l'Exemple 1), la TEIM est supérieure tant en précision qu'en vitesse. Si le système est mieux capturé par une base vectorielle standard (comme dans l'exemple d'Allen-Cahn), la DEIM peut offrir une précision supérieure, bien que la TEIM reste une alternative viable et plus rapide avec un compromis mineur en précision.

L'étude conclut que bien que l'étude se concentre sur les fonctions à valeurs matricielles, le cadre théorique est extensible aux fonctions à valeurs de tenseurs d'ordre supérieur.