Hilbert modular Eisenstein congruences of local origin

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres, plus précisément dans l'étude des congruences d'Eisenstein pour les formes modulaires de Hilbert.

• Contexte classique : Depuis Ramanujan, il est bien établi qu'il existe des congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires cuspidales (comme la fonction discriminant $\Delta$) et les séries d'Eisenstein. Ces congruences sont souvent liées à la divisibilité par un nombre premier $l$ de valeurs spéciales de fonctions $L$ (comme les nombres de Bernoulli) ou de facteurs eulériens locaux.
• Problème spécifique : L'objectif de cet article est de généraliser ces résultats au cas des formes modulaires de Hilbert sur un corps totalement réel $F$ arbitraire. Plus précisément, les auteurs cherchent à établir l'existence de congruences entre des formes propres de Hilbert de poids parallèle $k \ge 3$ et de niveau $mp$(où$m$ est un idéal et $p$ un idéal premier), et des séries d'Eisenstein de niveau $m$.
• Origine locale : Le terme "d'origine locale" désigne le fait que les modules de ces congruences ne proviennent pas seulement des valeurs globales des fonctions $L$ de Hecke, mais aussi de leurs facteurs eulériens locaux aux primes divisant le niveau (ici, la prime $p$).
• Défi technique : La théorie des variétés modulaires de Hilbert est plus complexe que celle des courbes modulaires classiques ($F=\mathbb{Q}$). En particulier, la structure des pointes (cusps) et l'existence d'une classe de nombres non triviale compliquent le calcul des termes constants des séries d'Eisenstein et la définition des formes nouvelles.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant l'analyse explicite des séries d'Eisenstein et la géométrie arithmétique des formes modulaires modulo $l$.

A. Formules explicites pour les termes constants

Une étape cruciale est le calcul des termes constants des séries d'Eisenstein de Hilbert aux différentes pointes.

• Les auteurs généralisent une formule de Ozawa pour calculer les termes constants des séries d'Eisenstein $E_k(\eta, \psi)$ aux pointes arbitraires, en tenant compte de l'obstruction du groupe de classes de $F$.
• Ils étendent ce calcul au cas où le niveau est relevé de $m$ à $mp$ (opérateur de relèvement de niveau).
• Ils construisent des combinaisons linéaires spécifiques de séries d'Eisenstein, notées $E_\delta$, de la forme :
  $$E_\delta = E_k^{(O)}(\eta, \psi) - \delta E_k^{(p)}(\eta, \psi)$$
  où $\delta$ est choisi parmi les valeurs propres locales $\eta(p)$ ou $\psi(p)N(p)^{k-1}$.
• Résultat clé : Les formules obtenues montrent que les termes constants de ces combinaisons $E_\delta$ s'annulent modulo un idéal premier $\Lambda$ si et seulement si une condition de divisibilité impliquant la valeur $L$-fonction $L(\eta^{-1}\psi, 1-k)$ et le facteur eulérien local $(\eta(p) - \psi(p)N(p)^k)$ (ou son analogue) est satisfaite.

B. Théorie géométrique des formes modulaires modulo $l$

Pour passer des congruences de séries d'Eisenstein à l'existence de formes cuspidales, les auteurs utilisent le cadre géométrique de Katz et Lan-Suh :

• Formes modulaires géométriques : Ils définissent les formes modulaires de Hilbert sur des schémas en caractéristique $l$ via des schémas abéliens de Hilbert-Blumenthal polarisés.
• Principe d'expansion $q$ : Ils utilisent le principe d'expansion $q$ pour identifier les formes modulaires à leurs coefficients de Fourier.
• Opérateurs $\theta$ et invariants de Hasse : Ils utilisent les opérateurs de Hasse partiels et les opérateurs $\theta$ pour analyser le poids minimal des formes.
• Relèvement (Lifting) : En s'appuyant sur le théorème de Lan-Suh, ils démontrent que toute forme cuspidale modulo $l$ (sous certaines conditions de poids et de niveau "suffisamment petit") peut être relevée en une forme cuspidale de caractéristique zéro.
• Lemme de Deligne-Serre : Une fois la forme modulo $l$ obtenue (qui est une combinaison de séries d'Eisenstein s'annulant aux pointes, donc une forme cuspidale), ils appliquent le lemme de Deligne-Serre pour garantir l'existence d'une forme propre (eigenform) de caractéristique zéro ayant les mêmes valeurs propres modulo $\Lambda$.

3. Résultats Principaux

Les résultats sont formulés sous forme de théorèmes d'existence et de conditions nécessaires/suffisantes.

Théorème 1.1 (Existence de congruences)

Soit $F$ un corps totalement réel, $k > 2$ un entier pair, et $p$ un idéal premier. Si un nombre premier rationnel $l$ satisfait :
$$\text{ord}_l(\zeta_F(1-k)(1-N(p)^k)) > 0$$
(alors que $l$ est non ramifié et ne divise pas $N(p)$), alors il existe une forme propre de Hilbert normalisée $f$ de poids parallèle $k$ et de niveau $mp$ telle que ses coefficients de Fourier $a(q)$ vérifient :
$$a(q) \equiv 1 + N(q)^{k-1} \pmod \Lambda$$
pour tout idéal premier $q$ ne divisant pas $N(mp)$. Ce résultat est une généralisation directe des congruences de Ramanujan au cas de Hilbert avec origine locale.

Théorème 1.2 et Théorème 5.2 (Conditions pour les formes nouvelles)

C'est le cœur de l'article. Les auteurs établissent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme nouvelle (newform) satisfasse ces congruences.

• Conditions Nécessaires : Si une forme nouvelle $f$ satisfait la congruence, alors :

  1. La condition de divisibilité sur la valeur $L$ et le facteur eulérien est satisfaite.
  2. Le premier $l$ divise le produit $(\eta(p) - \psi(p)N(p)^k)(\eta(p) - \psi(p)N(p)^{k-2})$. Cela reflète la structure de la représentation galoisienne résiduelle en $p$ (elle doit être réductible avec des caractères spécifiques).

• Conditions Suffisantes : Réciproquement, si les conditions ci-dessus sont remplies et que certaines conditions techniques supplémentaires sont vérifiées (notamment $l \nmid N(p)+1$ et une condition sur l'existence d'un idéal premier $q$ évitant certaines congruences), alors il existe une forme nouvelle $f$ satisfaisant la congruence.

Le papier traite également le cas où le nombre de classes étroites $h^+$ est non trivial, nécessitant l'utilisation de modules de formes de Hilbert indexés par les classes d'idéaux étroits.

4. Contributions Clés

1. Généralisation aux corps totalement réels : Le papier fournit les premières preuves générales d'existence de congruences d'Eisenstein d'origine locale pour les formes de Hilbert de poids $k \ge 3$, comblant un vide entre les résultats connus pour $k=2$ (Martin) et le cas classique ($F=\mathbb{Q}$).
2. Formules de termes constants explicites : Ils dérivent des formules précises pour les termes constants des séries d'Eisenstein de Hilbert relevées en niveau, reliant explicitement ces termes aux valeurs $L$ et aux facteurs eulériens locaux.
3. Critère de forme nouvelle : Contrairement à de nombreux travaux qui prouvent seulement l'existence d'une forme propre, les auteurs donnent des critères précis pour garantir que cette forme est une forme nouvelle (c'est-à-dire qu'elle n'est pas obtenue par relèvement d'un niveau inférieur). Cela repose sur une analyse fine de la représentation galoisienne locale en $p$.
4. Lien avec la conjecture de Bloch-Kato : Les résultats illustrent le lien entre la divisibilité des valeurs spéciales de fonctions $L$ (ici $L(\eta^{-1}\psi, 1-k)$ et facteurs locaux) et la structure galoisienne des représentations associées aux formes modulaires, validant des cas particuliers de la conjecture de Bloch-Kato pour les groupes réductifs $GL_2$ sur $F$.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Théorie des nombres algébrique : Il enrichit la compréhension des relations entre les invariants analytiques (valeurs $L$) et les invariants algébriques (structures de Galois, nombres de classes) dans le contexte des corps de nombres totalement réels.
• Outils pour la conjecture de Bloch-Kato : En établissant des congruences pour des formes de Hilbert, le papier fournit des outils potentiels pour étudier les groupes de Selmer de Bloch-Kato associés aux représentations galoisiennes de dimension 2 sur des corps totalement réels, une généralisation non triviale du théorème de Herbrand-Ribet.
• Méthodologie robuste : La combinaison de l'analyse explicite des séries d'Eisenstein (calculs de termes constants) avec la théorie géométrique moderne des formes modulaires modulo $l$ (Lan-Suh, Deligne-Serre) offre une méthode puissante qui pourrait être adaptée à d'autres groupes réductifs ou à des niveaux plus complexes.
• Ouverture vers des cas plus généraux : Les auteurs suggèrent que ces méthodes peuvent être étendues à des niveaux $mn$ et à des caractères de Hecke non triviaux, ouvrant la voie à une théorie complète des congruences d'Eisenstein pour les formes de Hilbert.

En résumé, ce papier établit un pont rigoureux entre les propriétés analytiques des fonctions $L$ de Hecke et l'existence de formes modulaires cuspidales de Hilbert satisfaisant des congruences spécifiques, en résolvant les difficultés techniques liées à la géométrie des variétés de Hilbert et à la théorie des formes nouvelles.