The kernel of the Gysin homomorphism for positive characteristic

1. Problématique et Contexte

Le papier s'attaque à la généralisation d'un résultat fondamental concernant le noyau de l'homomorphisme de Gysin dans le contexte de la géométrie algébrique en caractéristique positive.

• Contexte initial : Dans l'article de référence [20], le théorème a été démontré pour une surface projective lisse et connexe $S$ définie sur le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$. Ce résultat repose sur la théorie de Hodge.
• Le problème : Étendre ce théorème à un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique $p > 0$, supposé non dénombrable.
• L'objet d'étude : Soit $S$ une telle surface. On considère un système linéaire très ample $\Sigma$ définissant une immersion $\phi_\Sigma : S \hookrightarrow \mathbb{P}^d$. Pour un point générique $t \in \Sigma$, on note $C_t = H_t \cap S$ la section hyperplane lisse correspondante et $r_t : C_t \hookrightarrow S$ l'immersion fermée.
  • L'homomorphisme de Gysin en cohomologie est $r_{t*} : H^1(C_t, \mathbb{Z}) \to H^3(S, \mathbb{Z})$.
  • Le noyau de cet homomorphisme, noté $H^1(C_t, \mathbb{Z})_{van}$, définit une sous-variété abélienne $B_t$ du jacobien $J_t = J(C_t)$.
  • On s'intéresse au noyau de l'homomorphisme de Gysin sur les groupes de Chow de 0-cycles de degré zéro : $G_t = \ker(r_{t*} : CH_0(C_t)_{deg=0} \to CH_0(S)_{deg=0})$.

Le théorème à généraliser (Théorème A) :

1. Pour tout $t$, il existe une sous-variété abélienne $A_t \subset B_t$ telle que $G_t$ soit la réunion dénombrable de translatés de $A_t$.
2. Pour un point $t$ « très général », soit $A_t = 0$, soit $A_t = B_t$.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche hybride combinant la théorie des modèles, la géométrie arithmétique et la cohomologie étale, évitant ainsi l'utilisation directe de la théorie de Hodge (qui n'est pas disponible en caractéristique positive).

A. Relèvement et Théorèmes de Comparaison

La stratégie centrale consiste à « lever » la variété de la caractéristique $p$ vers la caractéristique 0.

• Relèvement : Puisque $k$ est un corps algébriquement clos parfait de caractéristique $p$, il existe un anneau de valuation discrète complet non ramifié $W(k)$ (l'anneau des vecteurs de Witt) dont le corps résiduel est $k$ et le corps des fractions $K$ est de caractéristique 0.
• Famille plate : On considère une famille plate $S$ sur $W(k)$ dont la fibre spéciale est $S_0 = S$ et la fibre générique $S_\eta$ est définie sur $K$.
• Principe de Lefschetz et Théorèmes de Comparaison :
  • Le principe de Lefschetz permet de considérer la géométrie sur $K$ comme équivalente à celle sur $\mathbb{C}$.
  • Les auteurs utilisent le Théorème de comparaison d'Artin [16, Th. 21.1] pour passer de la cohomologie singulière (sur $\mathbb{C}$) à la cohomologie étale.
  • Ils utilisent ensuite le Théorème de comparaison [16, Th. 20.5] pour relier la cohomologie étale de la fibre spéciale ($S_0$) à celle de la fibre générique ($S_\eta$). Cela permet de transposer les résultats prouvés sur $\mathbb{C}$ (via la théorie de Hodge) vers le cadre de la caractéristique $p$.

B. Arguments de Cohomologie Étale et Monodromie

Pour la partie (b) du théorème (le comportement pour un point très général), les auteurs s'inspirent de [1] et utilisent la théorie de la monodromie :

• Action du groupe fondamental : Ils considèrent l'action continue du groupe fondamental étale $\pi_1(U', \eta)$ (basé sur un point générique géométrique) sur les groupes de cohomologie étale.
• Cycles de vanishing : L'analyse porte sur les cycles de vanishing associés à un pinceau de Lefschetz. L'espace engendré par ces cycles est irréductible sous l'action du groupe fondamental (théorème de Picard-Lefschetz).
• Théorème de Tate : L'utilisation du théorème de Tate pour les variétés abéliennes sur des corps de type fini permet de relier les représentations $\ell$-adiques aux sous-variétés abéliennes.

C. Lemmes de Dénombrabilité et Représentabilité

Le papier établit rigoureusement que les arguments de dénombrabilité et de représentabilité des groupes de Chow, initialement développés pour $\mathbb{C}$, restent valables sur un corps algébriquement clos non dénombrable de caractéristique arbitraire.

• Utilisation du lemme de normalisation de Noether pour garantir l'existence d'hyperplans « génériques ».
• Démonstration que le groupe $CH_0(X)_{deg=0}$ est représentable (ou fini-dimensionnel) si et seulement si l'application d'Albanese est un isomorphisme, en s'appuyant sur les travaux de Roitman et Milne généralisés.

3. Résultats Principaux

Le papier démontre que le théorème de [20] reste vrai en caractéristique positive :

Théorème 7.1 (Partie a) :
Pour tout $t \in U$ (l'ensemble des paramètres de courbes lisses), il existe une sous-variété abélienne $A_t \subset B_t \subset J_t$ telle que le noyau de Gysin $G_t$ soit la réunion d'une famille dénombrable de translatés de $A_t$.

• Preuve clé : L'identification de $G_t$ via l'application d'Albanese et l'utilisation de la décomposition irréductible unique d'un sous-groupe dans une variété abélienne sur un corps non dénombrable. L'inclusion $A_t \subset B_t$ est prouvée via les représentations galoisiennes et le théorème d'isogénie de Tate.

Théorème 7.6 (Partie b) :
Pour un point $t$ « très général » dans $U$, on a soit $A_t = 0$, soit $A_t = B_t$.

• Preuve clé : L'irréductibilité de l'action de monodromie sur l'espace des cycles de vanishing. Si l'image de la représentation associée à $A_t$ est non nulle, elle doit coïncider avec l'espace entier (donc $A_t = B_t$) en raison de l'irréductibilité. Sinon, elle est nulle ($A_t = 0$). Ce résultat est établi d'abord pour le point générique géométrique, puis étendu aux points très généraux via des arguments de spécialisation et d'isomorphisme de schémas.

4. Contributions Clés

1. Extension au cas $p > 0$ : C'est la première démonstration complète de ce théorème spécifique sur le noyau de Gysin pour les surfaces en caractéristique positive, comblant un vide laissé par la dépendance initiale à la théorie de Hodge.
2. Méthodologie de Relèvement : L'article fournit un cadre robuste pour transposer des résultats de cohomologie singulière (complexes) vers la cohomologie étale (caractéristique $p$) en utilisant systématiquement les anneaux de Witt et les théorèmes de comparaison.
3. Indépendance de la caractéristique pour la représentabilité : Le papier confirme que les propriétés structurelles des groupes de Chow de 0-cycles (dénombrabilité, représentabilité) sont robustes et ne dépendent pas de la caractéristique du corps de base, à condition que le corps soit non dénombrable.
4. Synthèse des théorèmes de Tate et de Monodromie : L'articulation entre l'irréductibilité de la monodromie (géométrie algébrique) et le théorème de Tate (théorie des nombres/arithmétique) pour caractériser les sous-variétés abéliennes est une contribution méthodologique significative.

5. Signification

Ce travail est significatif car il consolide la compréhension des cycles algébriques et des équivalences (rationnelle, homologique, algébrique) au-delà du cadre complexe.

• Il valide l'hypothèse que la structure fine du noyau de Gysin (qui mesure l'écart entre l'équivalence rationnelle et l'équivalence homologique pour les 0-cycles) est un invariant géométrique intrinsèque, indépendant de la caractéristique du corps.
• Il ouvre la voie à l'application de techniques de cohomologie étale et de théorie de Galois pour résoudre des problèmes classiques de géométrie algébrique qui étaient auparavant restreints au domaine complexe.
• Il renforce le lien entre la géométrie des surfaces, la théorie des variétés abéliennes et la théorie des motifs, en montrant que les résultats profonds sur les cycles de vanishing et les jacobienes intermédiaires s'étendent aux corps de caractéristique positive.