Retract rational varieties are uniformly retract rational

Résumé Technique : « Les variétés à rétractation rationnelle sont uniformément à rétractation rationnelle »

Énoncé du Problème
L'article traite d'une question fondamentale de la théorie des variétés algébriques concernant la structure locale des variétés rationnelles et des variétés à rétractation rationnelle. Plus précisément, il examine si la propriété d'être « à rétractation rationnelle » implique la « rétractation rationnelle uniforme ».

• Rétractation Rationnelle : Une variété algébrique $X$ sur un corps infini $K$ est à rétractation rationnelle s'il existe un sous-ensemble ouvert dense de Zariski $V \subset X$, un entier naturel $m$, un ouvert de Zariski $U \subset K^m$, et des applications régulières $V \to U \to V$ dont la composition est l'identité sur $V$.
• Rétractation Rationnelle Uniforme : $X$ est uniformément à rétractation rationnelle si pour tout point $x \in X$, il existe un voisinage ouvert de Zariski $V$ de $x$ (qui n'est pas nécessairement dense au sens global, mais local à $x$) satisfaisant la même condition de rétractation.

Cette interrogation (Question 1.7) est motivée par le contexte plus large de l'ellipticité de Gromov. Gromov a introduit l'« ellipticité algébrique » pour les variétés complexes non singulières, une propriété impliquant de fortes caractéristiques d'homotopie et d'approximation. Il était connu que la rationalité uniforme implique l'ellipticité algébrique. Bien que les variétés rationnelles soient un sous-ensemble des variétés à rétractation rationnelle, il restait un problème ouvert de savoir si toutes les variétés projectives complexes rationnelles non singulières sont algébriquement elliptiques (Question 1.3). Une réponse positive à la question de la rétractation rationnelle uniforme fournirait une résolution partielle de celle-ci, car l'Observation 1.6 établit que la rétractation rationnelle uniforme implique l'ellipticité algébrique (dans le cas complexe) ou la malléabilité (dans le cas réel).

Méthodologie
La preuve repose sur une combinaison de géométrie algébrique locale, d'algèbre commutative et de manipulation de l'applications polynomiales. La stratégie centrale consiste à étendre les applications rationnelles en germes réguliers.

1. Extension Locale des Applications (Proposition 3.1) : L'outil technique pivot est la Proposition 3.1, qui affirme que si une application rationnelle $F: K^n \dashrightarrow Y$ est régulière en un point $x_0$ sur une sous-variété $X \subset K^n$, alors il existe un germ de régularité $G: (K^n, x_0) \to Y$ qui concorde avec $F$ sur $X$ au voisinage de $x_0$.
2. Construction de l'Extension : La preuve de la Proposition 3.1 utilise la Proposition 2.2. Cette proposition construit une application polynomiale spécifique $\sigma: X \times K^{n-m} \to K^n$ (où $m = \dim X$) possédant les propriétés suivantes :
   • Elle agit comme l'identité sur $X$ lorsque la seconde variable est nulle.
   • Sa dérivée au point de base est un isomorphisme.
   • L'homomorphisme induit sur les anneaux locaux est surjectif modulo un idéal spécifique généré par les dénominateurs de l'application rationnelle.
     Cette construction permet de lever l'application rationnelle définie sur $X$ vers une application régulière sur l'espace ambiant $K^n$ localement.
3. Arguments de Généricité : La construction de $\sigma$ repose sur le Lemme 2.3, qui utilise le dénombrement de dimension sur les Grassmanniennes pour garantir qu'un sous-espace linéaire générique intersecte l'ensemble nul de l'idéal concerné uniquement à l'origine. Cela garantit la transversalité nécessaire et l'indépendance algébrique pour que l'extension fonctionne.
4. Application du Lemme 2.4 : Ce lemme assure que la régularité d'une fonction rationnelle est préservée sous de petites perturbations de l'application, permettant la transition de l'étendu du germe construit sur l'espace produit vers l'espace ambiant.

Contributions Clés et Résultats
Le résultat principal de l'article est le Théorème 1.8 :

Soit $X$ une variété algébrique non singulière à rétractation rationnelle sur un corps infini $K$. Alors elle est uniformément à rétractation rationnelle.

La preuve procède en prenant un point arbitraire $x_0 \in X$. Puisque $X$ est à rétractation rationnelle, il existe des ouverts et des rétractions globalement. L'auteur étend l'application de rétractation $r: U \to V$ (où $V \subset X$) en une application rationnelle sur l'espace ambiant. En utilisant la Proposition 3.1, l'auteur construit un germe régulier $G$ défini sur un voisinage de $x_0$ dans l'espace ambiant qui se restreint à l'identité sur $X$ au voisinage de $x_0$. Ce germe fournit effectivement la rétractation locale requise pour la rétractation rationnelle uniforme.

Corollaires et Signification
L'article dérive le Corollaire 1.9 comme une conséquence directe du Théorème 1.8 :

Les variétés projectives complexes rationnelles non singulières sont algébriquement elliptiques.

Revendications de Signification :

• Résolution d'une Question Spécifique : L'article fournit une réponse affirmative à la Question 1.7, établissant que la propriété locale (l'uniformité) découle de la propriété globale (la rétractation rationnelle) pour les variétés non singulières sur des corps infinis.
• Réponse Partielle à la Question de Gromov : En combinant le Théorème 1.8 avec l'Observation 1.6, l'article confirme que toutes les variétés projectives complexes rationnelles non singulières sont algébriquement elliptiques. Cela résout la seconde partie de la Question 1.3 pour la classe des variétés rationnelles.
• Clarification de la Hiérarchie : Les résultats clarifient la hiérarchie des propriétés pour les variétés projectives complexes irréductibles et non singulières :
  $$\text{Rationalité Uniforme} \implies \text{Rationalité} \implies \text{Rétractation Rationnelle} \implies \text{Rétractation Rationnelle Uniforme} \implies \text{Ellipticité Algébrique}$$
  L'article note que les implications inverses ne tiennent pas en général (citant des exemples de variétés elliptiques qui ne sont pas rationnelles ou ne sont pas à rétractation rationnelle).

L'article ne prétend pas résoudre la Question 1.3 dans son intégralité (c'est-à-dire pour toutes les variétés, et non seulement les rationnelles), ni proposer de nouvelles applications expérimentales. Sa contribution est strictement théorique, faisant le pont entre la rétractation rationnelle et la rétractation rationnelle uniforme en utilisant des techniques d'extension algébrique.