Multi-height analysis of rational points of toric varieties

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le cadre de la conjecture de Manin-Peyre, qui vise à décrire le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur des variétés algébriques, en particulier les variétés de type Fano.

• Contexte classique : Traditionnellement, on étudie le nombre de points rationnels $P$ tels que $H(P) \le B$, où $H$ est une hauteur associée à un fibré en droites anticanonique $\omega^{-1}_V$.
• Limites et nouvelle approche : Peyre a récemment proposé un cadre généralisé (réf. [19]) étudiant la distribution des points rationnels par rapport à tous les fibrés en droites simultanément. Au lieu d'une seule hauteur, on considère une application « multi-hauteur » $h : V(K) \to \text{Pic}(V)^\vee_{\mathbb{R}}$.
• Objectif du papier : L'auteur étudie cette distribution multi-hauteur pour les variétés toriques lisses, projectives et déployées sur $\mathbb{Q}$. Il vise à prouver que la conjecture de Peyre s'applique à ce cas et à démontrer qu'il n'y a pas de sous-ensemble accumulateur pour cette distribution, à condition de restreindre l'étude à l'intérieur du dual du cône effectif.

2. Méthodologie

La méthode employée repose sur une combinaison de géométrie arithmétique, de théorie des torsors universels et d'analyse géométrique des nombres.

A. Torsors Universels et Relèvement

L'approche centrale est le relèvement des points rationnels de la variété torique $X$ vers son torsor universel $T$.

• Pour une variété torique $X$ définie par un éventail $\Sigma$, le torsor universel $T$ est un ouvert de l'espace affine $\mathbb{A}^{\Sigma(1)}$ (où $\Sigma(1)$ est l'ensemble des arêtes de l'éventail), obtenu en retirant un ensemble fermé $Z(\Sigma)$ défini par les « collections primitives » de l'éventail.
• L'auteur utilise le fait que le comptage des points rationnels sur $X$ peut être ramené au comptage des points entiers sur $T$ (plus précisément $T(\mathbb{Z})$), modulo l'action du tore de Néron-Severi $T_{NS}$.

B. Relèvement des Hautes Locales

Un apport technique majeur est la définition explicite des hauteurs locales sur le torsor universel.

• L'auteur définit des hauteurs locales $H_{T,v}$ sur $T(\mathbb{Q}_v)$ qui sont compatibles avec les hauteurs sur $X$.
• Il montre que pour un point $y \in T(\mathbb{Z})$, la hauteur multi-dimensionnelle de son image $P=q(y)$ sur $X$ est entièrement déterminée par la hauteur logarithmique locale à l'infini sur le torsor : $h(P) = h_{T,\infty}(y)$.
• Cela permet de traduire le problème de comptage de points rationnels en un problème de comptage de points entiers dans un domaine borné de $\mathbb{R}^{\Sigma(1)}$ défini par des conditions de hauteur.

C. Inversion de Möbius et Géométrie des Nombres

Pour compter les points entiers $y \in T(\mathbb{Z})$ (qui correspondent à des points rationnels primitifs), l'auteur utilise l'inversion de Möbius sur le réseau $(\mathbb{N}^*)^{\Sigma(1)}$.

• Il introduit une fonction de Möbius $\mu$ associée au torsor, permettant d'isoler les points dont les coordonnées sont « sans facteur commun » selon la structure du torsor (condition de primalité généralisée).
• Le comptage est ensuite réduit à l'estimation du nombre de points d'un réseau dans un domaine semi-algébrique borné. L'auteur applique un théorème de Davenport sur l'erreur d'approximation entre le volume d'un domaine et le nombre de points entiers qu'il contient.

D. Mesures et Nombres de Tamagawa

L'article établit un lien rigoureux entre la mesure de Lebesgue sur le torsor réel $T(\mathbb{R})$ et le nombre de Tamagawa $\tau(X)$ de la variété.

• Il calcule le volume des domaines définis par les hauteurs sur le torsor et le relie à la mesure $\nu$ sur $\text{Pic}(X)^\vee_{\mathbb{R}}$ définie par Peyre.
• Il démontre que le produit des mesures locales sur le torsor (aux places finies et infinies) converge vers le nombre de Tamagawa $\tau(X)$.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 2.15 et 4.16) établit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de multi-hauteur dans une région dilatée.

Soit $X$ une variété torique lisse, projective et déployée sur $\mathbb{Q}$. Soit $u$ un élément de l'intérieur du dual du cône effectif $(C_{eff}(X)^\vee)^\circ$. Soit $D_1$ une union finie de polyèdres compacts dans $\text{Pic}(X)^\vee_{\mathbb{R}}$. On définit le domaine $D_B = D_1 + \log(B)u$.

Le nombre de points rationnels $P \in X(\mathbb{Q})$ dont la multi-hauteur $h(P)$ appartient à $D_B$ satisfait :

$$\sharp \{ P \in X(\mathbb{Q}) \mid h(P) \in D_B \} \sim_{B \to +\infty} \nu(D_1) \cdot \tau(X) \cdot B^{\langle \omega^{-1}_X, u \rangle}$$

Détails de l'erreur :
L'auteur fournit une estimation précise du terme d'erreur. Si $l$ est le plus petit entier tel qu'il existe $l$ rayons de l'éventail non contenus dans un même cône de $\Sigma$, alors pour tout $\epsilon \in ]0, 1 - 1/l[$, l'erreur est de l'ordre de :
$$O\left( B^{\langle \omega^{-1}_X, u \rangle - (1 - 1/l - \epsilon) \min_{\rho} \langle [D_\rho], u \rangle} \right)$$

Points clés des résultats :

1. Validation de la conjecture : La formule asymptotique prédite par Peyre est vérifiée pour les variétés toriques dans le cadre multi-hauteur.
2. Absence d'accumulation : En restreignant l'étude à l'intérieur du dual du cône effectif, il n'y a pas de sous-ensemble accumulateur de points (contrairement à ce qui peut se produire pour des hauteurs spécifiques ou des cônes non intérieurs).
3. Structure du terme principal : Le terme principal fait intervenir le volume de la région $D_1$ (via $\nu$), le nombre de Tamagawa $\tau(X)$, et un exposant déterminé par le produit scalaire entre la classe anticanonique et le vecteur de direction $u$.

4. Contributions Techniques et Significatives

• Rigueur sur les conditions de convergence : L'article corrige et affine des résultats antérieurs (notamment ceux utilisant les fonctions zêta de hauteur) en précisant les conditions nécessaires sur le vecteur $u$ (nécessité d'être dans l'intérieur du dual du cône effectif) pour éviter des comportements asymptotiques erronés (comme le contre-exemple de $\mathbb{P}^1$ mentionné dans l'introduction).
• Méthode de descente explicite : L'auteur fournit une construction explicite et functorielle du relèvement des hauteurs sur le torsor universel pour les variétés toriques, reliant directement les coordonnées du torsor aux hauteurs sur la variété de base.
• Estimation fine de l'erreur : La méthode combinant l'inversion de Möbius et les bornes de Davenport permet d'obtenir un terme d'erreur explicite dépendant de la géométrie de l'éventail (via le paramètre $l$), ce qui est une avancée par rapport aux preuves existantes qui se contentaient souvent de l'existence d'un terme d'erreur.
• Lien avec la géométrie arithmétique : Le travail consolide le lien entre les mesures de Tamagawa sur les torsors et la distribution des points rationnels, confirmant que la constante de Peyre est bien le produit des densités locales sur le torsor universel.

Conclusion

Cet article constitue une preuve complète et technique de la conjecture de Peyre sur la distribution multi-hauteur pour les variétés toriques. En utilisant la méthode des torsors universels et des outils de géométrie des nombres, l'auteur démontre que la distribution des points rationnels est bien décrite par des invariants géométriques et arithmétiques globaux, sans accumulation pathologique, dès lors que l'on considère des directions de hauteur génériques (intérieur du dual du cône effectif). Ce travail ouvre la voie à des généralisations à d'autres classes de variétés et à l'étude de la distribution fine des points rationnels au-delà du cas anticanonique unique.