On the packing dimension of weighted singular matrices on fractals

Résumé technique : Sur la dimension de packing des matrices singulières pondérées sur les fractales

Énoncé du problème
L'article aborde le problème de l'estimation de la dimension de packing des ensembles de matrices singulières pondérées, spécifiquement lorsque ces ensembles sont intersectés avec des sous-ensembles fractals de l'espace des matrices $M_{m \times n}(\mathbb{R})$.

Dans le contexte de l'approximation diophantienne, une matrice $\theta$ est $(a, b)$-singulière si le théorème de Dirichlet peut être infiniment amélioré pour cette matrice par rapport à des vecteurs de poids donnés $a$ et $b$. Bien que la dimension de Hausdorff des vecteurs singuliers ait fait l'objet d'études approfondies (notamment par Cheung, Chevallier, Kadyrov, Kleinbock, Lindenstrauss et Margulis), la dimension de packing de ces ensembles, en particulier dans des contextes pondérés et restreints aux fractales, reste moins bien comprise. Les auteurs visent à fournir les premières bornes supérieures connues pour la dimension de packing de :

1. Les matrices singulières pondérées ($Sing(a, b)$).
2. Les matrices $\omega$-singulières pondérées ($Sing(a, b, \omega)$).
3. L'intersection de ces ensembles avec des fractales définies par des systèmes de fonctions itérées (SFI).

Méthodologie
Les auteurs emploient des méthodes issues de la dynamique homogène, utilisant spécifiquement la correspondance de Dani, qui relie les matrices singulières aux trajectoires divergentes dans l'espace des réseaux unimodulaires $X_{m+n} = SL_{m+n}(\mathbb{R}) / SL_{m+n}(\mathbb{Z})$.

Le cadre technique central implique trois composantes principales :

1. Correspondance de Dani et divergence : Les auteurs traduisent les propriétés diophantiennes des matrices en propriétés dynamiques des orbites sous des flots diagonaux $g_t$. Une matrice est singulière si son orbite correspondante diverge. Ils considèrent également des trajectoires « singulières en moyenne » et des trajectoires qui s'échappent vers l'infini à un taux spécifique.

2. Fonctions de hauteur et hypothèse de contraction : Pour borner la dimension de l'ensemble des trajectoires divergentes intersecté avec une fractale $K$, les auteurs construisent une famille de fonctions de hauteur $\{f_\tau\}$ sur l'espace des réseaux. Ces fonctions sont conçues pour satisfaire une « hypothèse de contraction » par rapport à la mesure fractale $\mu$.

   • La construction repose sur l'établissement d'une propriété d'expansion pour les représentations du groupe $SL_{m+n}(\mathbb{R})$ agissant sur les puissances extérieures de l'espace vectoriel.
   • Ils utilisent des inégalités intégrales (inspirées des travaux sur la conjecture d'Oppenheim) pour prouver que la mesure fractale satisfait l'hypothèse de contraction. Cela implique de démontrer que, pour une séquence spécifique d'exposants $\eta_l$, l'intégrale de la fonction de hauteur sous le flot décroît exponentiellement.

3. Bornes de dimension itératives : Les auteurs appliquent l'hypothèse de contraction de manière itérative. En analysant la mesure des ensembles où la fonction de hauteur reste grande (indiquant une divergence), ils dérivent des bornes supérieures sur la dimension de packing. Ce processus nécessite de gérer des poids inégaux ($a_i \neq a_j$ et $b_i \neq b_j$), ce qui introduit des difficultés techniques concernant une expansion inégale sous conjugaison. Les auteurs y remédient en prouvant l'hypothèse de contraction non seulement pour la mesure originale, mais aussi pour des mesures issues de petites perturbations.

Contributions et résultats clés

• Bornes supérieures générales : L'article établit des bornes supérieures pour la dimension de packing de $Sing(a, b) \cap K$ et $Sing(a, b, \omega) \cap K$, où $K$ est un produit d'ensembles limites de SFI satisfaisant la condition d'ensemble ouvert.

  • La borne est donnée par :
    $$\dim_P(Sing(a, b) \cap K) \le \dim_P(K) - \frac{1}{a_1 + b_1} \left( \min_{1 \le l \le d-1} \eta_l w_l \right)$$
    où $w_l$ sont des exposants critiques dérivés des poids, et $\eta_l$ sont des constantes dépendant de la géométrie fractale (spécifiquement liées aux exposants critiques de la mesure).

• Constantes explicites : Les auteurs fournissent des formules explicites pour les constantes $\eta_l$ dans trois cas spécifiques :

  1. L'espace matriciel complet $K = M_{m \times n}([0, 1])$.
  2. Le cas où $n=1$ (vecteurs lignes).
  3. Le cas où $m=1$ (vecteurs colonnes).
     Dans ces cas, les constantes sont exprimées en fonction des dimensions des composantes fractales.

• Extension aux fractales : Les résultats généralisent les découvertes antérieures sur les vecteurs singuliers sur les fractales. Alors que des travaux précédents (par exemple, Khalil) ont fourni des bornes supérieures pour la dimension de Hausdorff sur des fractales auto-similaires dans $\mathbb{R}^n$ satisfaisant la condition d'ensemble ouvert, cet article étend la portée à :

  • Les matrices singulières pondérées.
  • La dimension de packing (qui est généralement supérieure ou égale à la dimension de Hausdorff).
  • Les produits de fractales auto-similaires dans $\mathbb{R}$ avec des rapports de contraction égaux.
  • De nouveaux exemples, tels que le produit d'un ensemble de Cantor tiers moyen avec un ensemble de Cantor cinquième moyen.

• Exposants critiques : L'article introduit et analyse des « exposants critiques » $\zeta_l(\mu)$ associés à la mesure fractale. Ces exposants encodent des informations sur le comportement de la mesure près de certaines hypersurfaces et sont cruciaux pour déterminer l'ampleur de la réduction de dimension.

Signification et affirmations
Les auteurs affirmer fournir les premières bornes supérieures connues pour la dimension de packing des matrices singulières pondérées et des matrices $\omega$-singulières pondérées, tant dans le cadre général que lorsqu'elles sont intersectées avec des fractales.

• Nouveauté dans les contextes non pondérés : Même dans le cas non pondéré, les résultats sont nouveaux pour les matrices, élargissant le champ connu du Problème 6 posé par Bugeaud, Cheung et Chevalier concernant les paires singulières dans l'ensemble de Cantor tiers moyen.
• Généralisation : Les résultats élargissent la classe des fractales pour lesquelles des bornes de dimension sont connues, allant au-delà des simples ensembles auto-similaires dans $\mathbb{R}^n$ pour atteindre les produits de fractales dans $\mathbb{R}$.
• Contribution méthodologique : L'article met en évidence deux contributions clés à la méthodologie :
  1. La construction de fonctions de hauteur satisfaisant l'hypothèse de contraction pour les mesures fractales, ce qui implique de prouver des propriétés d'expansion pour les représentations.
  2. La gestion des poids inégaux dans le processus de contraction itératif, qui a nécessité une analyse minutieuse des mesures sous perturbations pour gérer les difficultés techniques liées à une expansion inégale.

L'article conclut que ces bornes sont dérivées d'un théorème plus général concernant la dimension de packing des points sur l'espace des réseaux unimodulaires dont les orbites sous les flots diagonaux « s'échappent en moyenne » ou divergent. Les résultats sont présentés comme des bornes supérieures, reconnaissant que la dimension de packing est une borne supérieure pour la dimension de Hausdorff, fournissant ainsi de nouvelles contraintes sur la taille de ces ensembles diophantiens.