Arithmetic Cycles with Modulus

Résumé technique de « Arithmetic Cycles with Modulus »

Énoncé du problème
L'article traite de l'écart entre deux théories établies de la géométrie arithmétique : la théorie des groupes de Chow avec module (qui capture l'information géométrique par rapport à un diviseur limite $D$) et la théorie des groupes de Chow arithmétiques développée par Gillet et Soulé (qui incorpore des données analytiques via des courants de Green pour définir une théorie d'intersection sur les variétés arithmétiques).

Alors que les groupes de Chow avec module, $CH^p(X|D)$, étendent avec succès la théorie d'intersection classique aux variétés quasi-projectives lisses $X$ par rapport à un diviseur effectif $D$ (restaurant des propriétés telles que l'application de degré et la variété d'Albanese dans des contextes appropriés), ils manquent d'une composante analytique. Inversement, les groupes de Chow arithmétiques, $\widehat{CH}^p(X)$, fournissent une théorie d'intersection raffinée pour les variétés arithmétiques en associant des cycles algébriques à des courants de Green, mais ils ne tiennent pas intrinsèquement compte des conditions de module le long d'un diviseur limite. Les auteurs posent la question suivante : Comment peut-on définir un groupe de Chow arithmétique avec module, $\widehat{CH}^p(X|D)$, qui respecte les conditions d'annulation le long de $D$ tout en conservant la structure analytique de la théorie de Gillet et Soulé ?

Méthodologie
Les auteurs construisent $\widehat{CH}^p(X|D)$ en adaptant la définition des groupes de Chow arithmétiques au cadre relatif. La méthodologie centrale implique :

1. Configuration analytique : Soit $X$ une variété quasi-projective lisse sur un corps de nombres $k$, et soit $D$ un diviseur effectif tel que son support réduit $D_{red}$ est un diviseur de type croisement normal simple (sncd). Les auteurs utilisent le complexe de formes différentielles lisses sur l'espace analytique associé $X(\mathbb{C})$ qui s'annulent sur $D_{red}$, noté $\Sigma_{D_{red}}A^*(X)$.
2. Lemme d'extension : Un outil technique crucial est le Lemme 2.5, qui établit que l'inclusion des formes s'annulant sur un sncd dans le complexe de toutes les formes est un quasi-isomorphisme dans le contexte de la cohomologie relative. Cela permet aux auteurs de représenter les classes de cohomologie relative à l'aide de formes lisses qui s'annulent sur la limite.
3. Courants de Green avec module : Pour un cycle algébrique $Z \in Z^p(X|D)$ (un cycle disjoint de $D$), les auteurs prouvent l'existence d'un courant de Green $g_Z$ satisfaisant l'équation différentielle $\partial\bar{\partial}g_Z + \delta_Z = [\omega_Z]$, où la forme lisse associée $\omega_Z$ appartient au sous-espace des formes s'annulant sur $D_{red}$. Cela garantit que la condition de « module » est satisfaite au niveau analytique.
4. Définition du groupe : Le groupe de Chow arithmétique avec module est défini comme le quotient des paires $(Z, g_Z)$ par un sous-groupe généré par les équivalences rationnelles arithmétiques avec module. Ces équivalences sont générées par les diviseurs de fonctions rationnelles $f$ qui sont des unités le long de $D$ (satisfaisant la condition de module $f \equiv 1 \mod \mathcal{I}_D$) et leurs courants associés $-\log|f|^2$, ainsi que des courants de la forme $\partial u + \bar{\partial} v$ où $u, v$ satisfont des conditions d'annulation spécifiques.

Contributions clés et résultats
L'article établit les principaux résultats suivants :

• Théorème A (Existence de courants de Green) : Pour tout cycle avec module, il existe un courant de Green $g_Z$ tel que la forme associée $\omega_Z$ s'annule sur $D_{red}$. Ceci valide la définition du groupe.
• Définition de $\widehat{CH}^p(X|D)$ : Le groupe est formellement défini comme $\widehat{Z}^p(X|D) / \widehat{R}^p(X|D)$, où $\widehat{Z}^p$ consiste en des paires $(Z, g_Z)$ avec la condition d'annulation, et $\widehat{R}^p$ est le sous-groupe des équivalences rationnelles arithmétiques avec module.
• Functorialité et séquences exactes : Le groupe $\widehat{CH}^p(X|D)$ satisfait des propriétés de functorialité naturelle (retrait pour les morphismes lisses, poussée pour les morphismes propres) et s'inscrit dans une séquence exacte naturelle analogue aux groupes de Chow arithmétiques classiques :
  $$CH^{p,p-1}(X|D) \to \widehat{A}^{p-1,p-1}(X_{\mathbb{R}}, \text{vanishing}) \to \widehat{CH}^p(X|D) \to CH^p(X|D) \to 0$$
• Structure de module (Théorème B) : L'anneau de Chow arithmétique classique $\widehat{CH}^*(X)$ agit sur les groupes de Chow arithmétiques avec module $\widehat{CH}^*(X|D)$ via un produit cup, satisfaisant la formule de projection. Cela relève la structure de module connue des groupes de Chow algébriques avec module.
• Isomorphisme avec le groupe de Picard Hermitien relatif (Théorème C) : Les auteurs définissent un groupe de Picard Hermitien relatif, $\widehat{\text{Pic}}(X, D)$, constitué de fibrés en droites hermitiens $(L, \|\cdot\|)$ équipés d'une trivialisation le long de $D$ telle que la forme de Chern $c_1(L, \|\cdot\|)$ s'annule sur $D_{red}$. Ils prouvent un isomorphisme :
  $$\widehat{\text{Pic}}(X, D) \cong \widehat{CH}^1(X|D)$$
  Cet isomorphisme commute avec les isomorphismes connus entre le groupe de Picard classique et le premier groupe de Chow.

Signification
Les auteurs décrivent ce travail comme une « amalgamation très naturelle » de la théorie d'intersection arithmétique de Gillet et Soulé avec la théorie des groupes de Chow avec module. La construction fournit une réalisation concrète de la cohomologie motivique arithmétique avec module.

L'article positionne ces résultats comme une étape fondamentale vers :

1. La définition d'un analogue arithmétique du groupe de Grothendieck relatif $K_0(X, D)$.
2. Le développement d'un analogue arithmétique de la théorie globale des classes de dimension supérieure.

Les auteurs déclarent explicitement que la définition de l'analogue arithmétique de $K_0(X, D)$ et l'étude de sa connexion avec $\widehat{CH}^p(X|D)$ font l'objet de leur prochain article, maintenant une portée modeste concernant les applications immédiates de ce travail actuel.