A uniform rate of convergence for the entropic potentials in the quadratic Euclidean setting

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine du transport optimal quadratique entre deux mesures de probabilité $\mu$ et $\nu$ sur $\mathbb{R}^d$, absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue.

• Le problème de base : Le transport optimal non régularisé (formulation de Kantorovich) cherche à minimiser le coût quadratique $\frac{1}{2}|x-y|^2$. La solution est donnée par une application de transport optimale $T_0 = \nabla \varphi_0$, où $\varphi_0$ est un potentiel convexe (potentiel de Brenier). Le calcul de $\varphi_0$ implique la résolution d'une équation de Monge-Ampère non linéaire, ce qui est numériquement difficile.
• La régularisation entropique : Pour rendre le problème plus traitable numériquement (via l'algorithme de Sinkhorn), on ajoute un terme d'entropie relative pondéré par un paramètre $\varepsilon > 0$. Cela définit un problème régularisé dont la solution est une application de transport $T_\varepsilon = \nabla \varphi_\varepsilon$, dérivée de potentiels entropiques $(\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon)$.
• La question centrale : Il est bien établi que lorsque $\varepsilon \to 0$, les potentiels entropiques $\varphi_\varepsilon$ convergent vers le potentiel de Brenier $\varphi_0$ (et leurs gradients respectivement). Cependant, la littérature existante ne quantifiait cette convergence que dans des normes $L^2(\mu)$ ou pour des cas discrets/semi-discrets.
  • Objectif de l'article : Établir un taux de convergence uniforme sur les compacts pour les potentiels $\varphi_\varepsilon$ et leurs gradients $\nabla \varphi_\varepsilon$ vers $\varphi_0$ et $\nabla \varphi_0$ dans le cadre continu.

2. Hypothèses et Cadre Théorique

Les résultats principaux sont démontrés sous les hypothèses suivantes sur les mesures $\mu$ et $\nu$ :

1. (A1) Structure log-concave et régularité : Les mesures sont de la forme $d\mu = e^{-V}dx$ et $d\nu = e^{-W}dy$, où $V$ et $W$ sont lisses. Il existe des constantes $\alpha, \beta > 0$ telles que :
   • $\nabla^2 V(x) \preceq \alpha I_d$ (contrôle de la courbure supérieure de $\mu$).
   • $\nabla^2 W(y) \succeq \beta I_d$ (courbure strictement positive de $\nu$, garantissant la log-concavité de $\nu$).
   • Conséquence : Cela assure que les applications de transport $\nabla \varphi_0$ et $\nabla \varphi_\varepsilon$ sont globalement lipschitziennes avec des constantes explicites.
2. (A2) Inégalité de Poincaré : La mesure $\mu$ satisfait une inégalité de Poincaré. Cela implique que $\mu$ possède des moments d'ordre supérieur et permet de contrôler la norme $L^2$ d'une fonction par celle de son gradient (à condition que la moyenne soit nulle).
3. (A3) Entropie différentielle finie : La mesure $\mu$ a une entropie différentielle finie.

3. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison astucieuse d'outils d'analyse fonctionnelle et de propriétés spécifiques du transport optimal entropique :

1. Régularité Lipschitzienne : En utilisant les hypothèses (A1) et des résultats antérieurs (théorèmes de Caffarelli et extensions entropiques), l'auteur établit que les Hessiens $\nabla^2 \varphi_0$ et $\nabla^2 \varphi_\varepsilon$ sont uniformément bornés. Cela implique que les gradients sont lipschitziens.
2. Convergence $L^2$ connue : En s'appuyant sur des travaux récents (notamment [MS25]), l'auteur utilise le fait que sous les hypothèses (A2) et (A3), la convergence des gradients a déjà été quantifiée en norme $L^2(\mu)$ :
   $$\|\nabla \varphi_\varepsilon - \nabla \varphi_0\|_{L^2(\mu)}^2 = O(\varepsilon)$$
   De même, grâce à l'inégalité de Poincaré, on obtient $\|\varphi_\varepsilon - \varphi_0\|_{L^2(\mu)}^2 = O(\varepsilon)$.
3. Inégalité de Gagliardo-Nirenberg : C'est l'outil clé pour passer de la convergence $L^2$ à la convergence uniforme ($L^\infty$ sur les compacts). L'auteur applique une version de cette inégalité pour contrôler la norme $L^\infty$ du gradient d'une fonction par une combinaison de sa norme $L^2$ et de la norme $L^\infty$ de son Hessien (dérivée d'ordre 2).
   • L'inégalité utilisée est de la forme : $\|\nabla u\|_\infty \leq C \|\nabla^2 u\|_\infty^\theta \|u\|_2^{1-\theta}$.
4. Technique de troncature (Cut-off) : Pour appliquer l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg sur un compact $K$, l'auteur introduit une fonction de troncature lisse $w$ à support compact. Il décompose le problème en contrôlant la dérivée seconde du produit $(\varphi_\varepsilon - \varphi_0)w$.
5. Lemme de point de référence : Un lemme crucial (Lemme 3.2) montre qu'il existe un point $x^*_\varepsilon$ dans un grand compact où la différence entre les potentiels et leurs gradients reste bornée uniformément en $\varepsilon$. Cela permet de "fixer" la constante d'intégration et d'utiliser les bornes de Lipschitz pour étendre le contrôle de ce point à tout le compact.

4. Résultats Principaux

L'article établit deux théorèmes majeurs :

Théorème 1.2 : Convergence uniforme des gradients

Sous les hypothèses (A1)-(A3), pour tout compact $K \subset \mathbb{R}^d$, il existe une constante $C_{grad}$ telle que :
$$\|\nabla \varphi_\varepsilon - \nabla \varphi_0\|_{K, \infty} \leq C_{grad} \, \varepsilon^{\frac{1}{d+4}}$$
où $\| \cdot \|_{K, \infty}$ désigne la norme uniforme sur $K$.

• Signification : Le taux de convergence est polynomial en $\varepsilon$, dépendant de la dimension $d$. Bien que ce taux ne soit pas optimal (le cas gaussien suggère un taux $O(\varepsilon)$), c'est le premier résultat de ce type pour des mesures générales absolument continues.

Théorème 1.3 : Convergence uniforme des potentiels

Sous les mêmes hypothèses et avec une normalisation appropriée (moyenne nulle), pour tout compact connexe $K$ :
$$\|\varphi_\varepsilon - \varphi_0\|_{K, \infty} \leq C_{pot} \left( \varepsilon^{\frac{1}{d+4}} + \varepsilon \right)$$
Ce résultat découle directement du théorème précédent et de l'inégalité de Poincaré.

Cas Gaussien (Proposition 1.1)

L'auteur traite le cas où $\mu$ et $\nu$ sont des lois gaussiennes non dégénérées. Dans ce cas, les potentiels sont explicites. Il démontre que la convergence est linéaire en $\varepsilon$ :
$$\|\nabla \varphi_\varepsilon - \nabla \varphi_0\|_{K, \infty} = O(\varepsilon)$$
Cela sert de "référence" (appétit) et suggère que le taux $\varepsilon^{1/(d+4)}$ obtenu pour le cas général n'est probablement pas optimal, mais il est le meilleur obtenu pour des mesures générales sous ces hypothèses.

5. Contributions et Signification

• Première quantification uniforme continue : C'est la première étude à fournir un taux de convergence uniforme sur les compacts pour les potentiels entropiques dans un cadre continu général (au-delà des cas discrets ou semi-discrets).
• Lien entre régularité et convergence : L'article met en lumière comment la régularité géométrique des mesures (log-concavité, inégalité de Poincaré) se traduit par des taux de convergence explicites pour les algorithmes de régularisation entropique.
• Justification théorique de l'approximation : Ces résultats renforcent la justification théorique de l'utilisation de l'entropie pour approximer le transport optimal, en quantifiant l'erreur d'approximation non seulement en moyenne ($L^2$) mais ponctuellement (uniforme), ce qui est crucial pour des applications où la précision locale est importante.
• Méthodologie robuste : L'approche combinant l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg avec des bornes de régularité globales offre une méthode potentiellement applicable à d'autres problèmes de régularisation en analyse variationnelle.

En résumé, ce travail comble un vide important dans la théorie du transport optimal entropique en passant d'une convergence faible ou en norme $L^2$ à une convergence uniforme explicite, offrant ainsi des garanties plus fortes pour les applications numériques et théoriques.