Spectral theory of non-local Ornstein-Uhlenbeck operators

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'analyse spectrale des opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck (OU) non-locaux sur $\mathbb{R}^d$. Ces opérateurs sont les générateurs de processus de Markov ergodiques, appelés processus d'Ornstein-Uhlenbeck de Lévy (Lévy-OU), définis par l'équation différentielle stochastique :
$$dX_t = BX_t dt + dZ_t$$
où $B$ est une matrice de dérive et $Z_t$ est un processus de Lévy.

Contrairement au cas classique (diffusion pure, où $Z_t$ est un mouvement brownien), l'opérateur générateur $A$ dans le cas non-local inclut un terme d'intégrale (sauts) :
$$Au(x) = \frac{1}{2}\text{tr}(\Sigma\nabla^2 u) + \langle Bx, \nabla u \rangle + \int_{\mathbb{R}^d} \left[ u(x+y) - u(x) - \langle \nabla u(x), y \rangle \mathbb{1}_{\{|y|\le 1\}} \right] \Pi(dy)$$
où $\Pi$ est la mesure de Lévy.

Défis principaux :

• Non-normalité : L'opérateur $A$ est généralement non-normal dans l'espace $L^2(\mu)$, où $\mu$ est la distribution invariante du processus. Cela rend l'analyse spectrale complexe car les fonctions propres ne forment pas nécessairement une base orthogonale.
• Non-localité : La présence du terme intégral (sauts) empêche l'utilisation directe des méthodes classiques d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
• Dégénérescence : L'étude se fait sans supposer que la composante gaussienne est non-dégénérée (c'est-à-dire que la matrice de covariance $\Sigma_\infty$ peut être singulière), ce qui est une généralisation significative par rapport à la littérature existante.

2. Méthodologie

L'approche centrale de l'auteur repose sur la théorie de l'entrelacement (intertwining). Au lieu d'attaquer directement l'opérateur non-local, l'auteur le relie à des opérateurs plus simples (diffusion OU ou opérateurs de premier ordre) via des opérateurs de lien bornés.

Points clés de la méthode :

1. Relations d'entrelacement : L'auteur démontre l'existence d'opérateurs de lien $\Lambda$ et $V$ tels que :
   • $L \Lambda = \Lambda A$, où $L = \langle Bx, \nabla \rangle$ est l'opérateur de dérive pur.
   • $A_{OU}^\varrho V = V A$, où $A_{OU}^\varrho$ est un opérateur de diffusion OU normal (ou auto-adjoint dans des cas particuliers).
     Ces relations permettent de transférer les propriétés spectrales (spectre, multiplicités, fonctions propres) de l'opérateur "simple" vers l'opérateur non-local complexe.
2. Représentation pseudo-différentielle : L'utilisation de la transformée de Fourier et des opérateurs pseudo-différentiels permet de construire explicitement les opérateurs de lien, même en présence de sauts.
3. Approximation : Pour traiter les cas où la mesure de Lévy n'a pas de moments exponentiels ou où la diffusion est dégénérée, l'auteur utilise des techniques d'approximation (troncature de la mesure de Lévy et régularisation par diffusion $\varepsilon \Delta$) pour étendre les résultats par passage à la limite.

3. Contributions et Résultats Principaux

A. Structure du Spectre et Multiplicités

• Théorème 4.1 : Le spectre ponctuel $\sigma_p(A_p)$ dans $L^p(\mu)$ ($1 < p < \infty$) contient l'ensemble $N(\lambda) = \{ -\sum n_i \lambda_i \mid n_i \in \mathbb{N}_0 \}$, où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $-B$.
• Invariance du spectre : Sous des hypothèses de moments (H2) et de non-dégénérescence (H4), le spectre ponctuel est exactement $N(\lambda)$. De manière surprenante, le spectre et les multiplicités (algébriques et géométriques) sont indépendants de la perturbation non-locale (la mesure de Lévy $\Pi$). Ils dépendent uniquement de la matrice de dérive $B$.
• Fonctions propres : Les fonctions propres sont des polynômes généralisés.

B. Formules Explicites et Bi-orthogonalité

• Fonctions propres ($H_n$) : Sous l'hypothèse que $B$ est diagonalisable, l'auteur derive une formule explicite pour les fonctions propres $H_n$ (Théorème 4.5). Ces fonctions sont des généralisations des polynômes d'Hermite, exprimées via des dérivées de la fonction caractéristique de la distribution invariante.
• Fonctions co-propres ($G_n$) : L'auteur fournit une formule explicite pour les fonctions propres de l'opérateur adjoint $A^*$ (Théorème 4.7), utilisant l'opérateur de Rodriguez appliqué à la densité de $\mu$.
• Bi-orthogonalité (Théorème 4.10) : Lorsque $B$ est diagonalisable, les suites $(H_n)$ et $(G_n)$ forment une suite bi-orthogonale : $\langle H_n, G_m \rangle_{L^2(\mu)} = \delta_{nm}$.
  • Résultat crucial : La diagonalisabilité de $B$ est une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une telle suite bi-orthogonale.
  • Si $\Pi \neq 0$ (présence de sauts), les fonctions co-propres $G_n$ ne sont généralement pas des polynômes, contrairement au cas de diffusion pure.

C. Développement Spectral et Convergence

• Cas de diffusion ($\Pi = 0$) : L'auteur établit un développement spectral explicite du semi-groupe $P_t$ (Théorème 4.14) :
  $$P_t f = \sum_{n \in \mathbb{N}_0^d} e^{-t\langle n, \lambda \rangle} \langle f, G_n \rangle H_n$$
  Cette série converge pour $t > t_0$, où $t_0$ dépend de la norme des projections spectrales (phénomène de croissance non-uniforme dû à la non-normalité).
• Cas non-local ($\Pi \neq 0$) : Un résultat négatif important (Théorème 4.18) montre que même si le semi-groupe est compact, un développement spectral basé sur les fonctions propres peut ne pas exister. Cela est dû à une croissance super-exponentielle de la norme des fonctions propres $H_n$ dans le cas non-local, ce qui empêche la convergence de la série pour tout $t > 0$.

D. Compacité des Semi-groupes

• Condition nécessaire (Théorème 4.20) : Pour que le semi-groupe $P_t$ soit compact sur $L^p(\mu)$, il est nécessaire que la mesure de Lévy $\Pi$ possède des moments de tous ordres (Hypothèse H2). En particulier, les processus $\alpha$-stables ($\alpha < 2$) ne donnent pas lieu à des semi-groupes compacts.
• Condition suffisante (Théorème 4.24) : Une condition suffisante pour la compacité est donnée en termes de la distribution invariante $\mu$. Si $W = -\log \mu$ satisfait $\lim_{|x|\to\infty} |\nabla W(x)| = \infty$, alors le semi-groupe est compact.

4. Signification et Impact

Ce travail comble un vide important dans la théorie spectrale des processus stochastiques non-gaussiens :

1. Généralisation majeure : Il étend la théorie spectrale bien établie des opérateurs OU de diffusion (cas normal ou non-normal) au cadre général des processus de Lévy, y compris les cas dégénérés (sans composante gaussienne).
2. Outils nouveaux : L'introduction de relations d'entrelacement spécifiques pour les opérateurs non-locaux offre une méthode puissante pour analyser des opérateurs intégro-différentiels complexes sans avoir à résoudre explicitement les équations aux dérivées partielles.
3. Compréhension de la non-normalité : L'article met en lumière comment la non-localité (sauts) affecte la structure des fonctions propres (perte de la propriété polynomiale pour les co-fonctions) et la convergence des développements spectraux (croissance super-exponentielle), offrant des contre-exemples subtils aux intuitions issues du cas de diffusion.
4. Applications potentielles : Les résultats sur la compacité et la vitesse de convergence sont pertinents pour l'analyse numérique des équations de Fokker-Planck non-locales, la physique statistique des systèmes avec sauts, et la finance mathématique (modélisation de risques avec sauts).

En résumé, Rohan Sarkar fournit une théorie spectrale complète et rigoureuse pour les opérateurs OU non-locaux, établissant des liens profonds entre la structure algébrique de la dérive, les propriétés analytiques de la mesure de Lévy et le comportement asymptotique du processus.