On André periods of mixed Tate motives

Résumé technique : Sur les périodes d'André des motifs mixtes de Tate

Énoncé du problème
L'article aborde la relation entre deux notions distinctes de périodes $p$-adiques dans le contexte des motifs mixtes de Tate (MMT). D'une part, il existe la notion « classique » de périodes $p$-adiques, développée par Yamashita, Chatzistamatiou et Üner, qui émerge de l'étude des intégrales itérées $p$-adiques et de la théorie de Chabauty-Kim. Cette théorie repose sur la comparaison de la filtration de Hodge et de l'automorphisme de Frobenius sur la réalisation de de Rham $p$-adique. D'autre part, Ancona et Frătilă ont récemment introduit une notion de « périodes $p$-adiques » (désignées comme « périodes d'André ») pour les motifs purs, inspirée par les travaux de Y. André. Cette approche compare la réalisation de de Rham rationnelle avec la réalisation cristalline, en mettant l'accent sur la factorisation à travers la catégorie des motifs sur le corps résiduel.

Alors que la théorie classique est bien établie pour les motifs mixtes de Tate, le cadre d'Ancona-Frătilă a été principalement développé pour les motifs purs, les motifs mixtes étant traités comme une réflexion secondaire. Le problème central consiste à déterminer si la définition d'Ancona-Frătilă, lorsqu'elle est appliquée au contexte spécifique des motifs mixtes de Tate, retrouve les périodes $p$-adiques classiques associées aux valeurs zêta multiples $p$-adiques et aux polylogarithmes.

Méthodologie
L'auteur, Ishai Dan-Cohen, utilise le langage des catégories tannakiennes et des foncteurs fibres pour relier ces deux définitions. La méthodologie comprend :

1. Traduction des cadres : La construction d'Ancona-Frătilă est transportée dans le cadre des motifs mixtes de Tate sur un schéma entier ouvert $Z \subset \text{Spec } \mathcal{O}_K$. Cela implique la définition d'un foncteur $H(Z)$ représentant l'espace des transformations naturelles $\otimes$-compatibles entre la spécialisation de la réalisation cristalline (via un foncteur $\zeta$) et la réalisation de de Rham.
2. Construction d'applications de périodes :
   • L'application de périodes d'Ancona-Frătilă ($per_{AF}$) est définie via le « point de Berthelot » ($c_{Ber}$), un point $K_p$ spécifique de $H(Z)$ construit en utilisant l'isomorphisme de comparaison de Berthelot entre les réalisations cristalline et de de Rham.
   • L'application de périodes classique ($per_{Cl}$) est définie via la « boucle de périodes $p$-adiques classique » ($u$), qui compare le chemin de Hodge arithmétique et le chemin cristallin arithmétique au sein du radical unipotent $U_{dR}(Z)$ du groupe de Galois tannakien.
3. Comparaison tannakienne : Le travail technique central consiste à prouver que le préfaisceau $H(Z)$ est un torseur trivial sous le groupe prounipotent $U_{dR}(Z)$. Cela est réalisé en :
   • Utilisant l'équivalence entre la catégorie des motifs mixtes de Tate semi-simples et les représentations de $\mathbb{G}_m$.
   • Appliquant un résultat général de la théorie tannakienne (Proposition 4.2) concernant l'isomorphisme entre les schémas quotients et les espaces de transformations naturelles.
   • Démontrant que l'application orbitale induite par un point de de Rham spécifique ($c_{dR}$) fournit un isomorphisme entre $U_{dR}(Z)$ et $H(Z)$ qui entrelace les deux boucles de périodes.

Contributions et résultats clés

• Théorème 1.1 (Équivalence des applications de périodes) : Le résultat principal établit un isomorphisme d'algèbres sur $K$ entre l'anneau des « périodes d'André formelles » ($\mathcal{O}_{H(Z)}$) et l'anneau des « périodes classiques formelles » ($\mathcal{O}_{U_{dR}(Z)}$). Cet isomorphisme commute avec les applications de périodes respectives $per_{AF}$ et $per_{Cl}$. Par conséquent, les deux définitions apparemment différentes de périodes $p$-adiques sont équivalentes dans le cadre des motifs mixtes de Tate.
• Indépendance par rapport à la première : Une conséquence notable est que l'anneau des périodes d'André formelles, bien que défini a priori à l'aide d'une première spécifique $p$, est indépendant de $p$ à isomorphisme canonique près, car il est isomorphe à l'anneau de coordonnées du groupe unipotent $U_{dR}(Z)$, qui ne dépend pas de $p$.
• Nature motivique des chemins fixes par Frobenius : L'article résout une ambiguïté conceptuelle concernant les chemins de de Rham fixes par Frobenius identifiés par Besser et Vologodsky. En montrant que ces chemins proviennent de chemins motiviques en caractéristique $p$ (spécifiquement, de la spécialisation de torseurs de chemins motiviques), l'auteur démontre que ces chemins sont « motiviques après tout », à condition de remplacer les motifs sur une base arithmétique par des motifs sur un corps résiduel.
• Réalisation des polylogarithmes : L'auteur construit explicitement des fonctions sur l'espace homogène principal $H(Z)$ correspondant aux intégrales itérées motiviques. Il est démontré que les périodes d'André de ces fonctions donnent les valeurs spéciales des polylogarithmes multiples $p$-adiques et des valeurs zêta multiples $p$-adiques (fonctions de Coleman).

Signification
L'article revendique une importance dans l'unification de deux courants de recherche : la théorie classique des périodes $p$-adiques utilisée en géométrie arithmétique (théorie de Chabauty-Kim) et le cadre plus récent et plus général des périodes d'André proposé par Ancona et Frătilă. En prouvant leur équivalence dans le cadre des motifs mixtes de Tate, ce travail valide l'extension de l'outillage d'Ancona-Frătilă aux motifs mixtes sans perte des propriétés classiques.

De plus, l'article fournit une réalisation concrète des polylogarithmes multiples $p$-adiques en tant que périodes d'André. Cela relie le formalisme tannakien abstrait d'Ancona et Frătilă directement aux objets calculables de l'intégration $p$-adique. L'auteur note que cette connexion clarifie les « mécanismes internes » de la théorie de Chabauty-Kim pour les motifs mixtes de Tate et offre une perspective $p$-adique sur les conjectures de Goncharov concernant les intégrales itérées motiviques. Ce travail jette également les bases d'une éventuelle extension de la théorie de Chabauty-Kim au-delà du cadre des motifs mixtes de Tate, bien que les résultats actuels soient strictement confinés au cas des motifs mixtes de Tate.