Quillen equivalence for chain homotopy categories induced by balanced pairs

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de l'algèbre homologique et de la théorie des catégories de modèles. Le problème central est de déterminer les conditions sous lesquelles les catégories d'homotopie de chaînes, notées $K(\mathcal{X})$ et $K(\mathcal{Y})$, associées à deux sous-catégories additives $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ d'une catégorie abélienne $\mathcal{A}$, sont équivalentes en tant que catégories triangulées.

Historiquement, des équivalences triangulaires ont été établies dans des cas spécifiques :

• Pour les modules projectifs et injectifs sur un anneau noethérien commutatif (Iyengar et Krause).
• Pour les modules Gorenstein projectifs et injectifs sur des anneaux de dimension globale Gorenstein finie (Chen).
• Chen a généralisé ces résultats en montrant qu'une paire équilibrée admissible $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ de dimension finie induit une équivalence $K(\mathcal{X}) \simeq K(\mathcal{Y})$.

Cependant, la question reste ouverte pour les paires équilibrées de dimension infinie (comme les objets purement projectifs et injectifs sur certains anneaux réguliers de von Neumann). L'approche précédente de Chen reposait sur une comparaison des catégories dérivées relatives $D_\mathcal{X}(\mathcal{A})$ et $D_\mathcal{Y}(\mathcal{A})$. Les auteurs cherchent une approche alternative et plus générale, capable de traiter des cas de dimension infinie, en utilisant la théorie des catégories de modèles.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche fondée sur la théorie des catégories de modèles (Quillen) et la correspondance avec les triplets de Hovey.

1. Cadre Exact : Ils considèrent une paire équilibrée admissible $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ dans une catégorie abélienne $\mathcal{A}$. Ils définissent une classe $\mathcal{E}$ de suites exactes courtes dans $\mathcal{A}$ qui restent exactes après application de $\text{Hom}_\mathcal{A}(\mathcal{X}, -)$. Cela transforme $(\mathcal{A}, \mathcal{E})$ en une catégorie exacte.
2. Catégorie des Complexes : Ils travaillent sur la catégorie des complexes $\text{Ch}(\mathcal{A}, \mathcal{E})$, munie de la structure exacte induite par les suites exactes terme à terme dans $\mathcal{E}$.
3. Construction de Modèles :
   • Ils définissent des classes de complexes spécifiques : $\mathcal{X}$-acycliques à droite, complexes dont les termes sont dans $\mathcal{X}$, etc.
   • Ils construisent des triplets de Hovey (paires de cotorsion complètes et héréditaires) sur $\text{Ch}(\mathcal{A}, \mathcal{E})$.
   • Plus précisément, ils définissent une structure de modèle $M_{dw}^\mathcal{X} = (\mathcal{X}_{dw}, (\mathcal{X}_{dw})^\perp, \text{Ch}(\mathcal{A}, \mathcal{E}))$ où $\mathcal{X}_{dw}$ est la classe des complexes dont tous les termes sont dans $\mathcal{X}$, et $(\mathcal{X}_{dw})^\perp$ est son orthogonal droit par rapport à $\text{Ext}^1_{\text{Ch}(\mathcal{E})}$.
   • De manière duale, ils définissent une structure $M_{dw}^\mathcal{Y}$ pour $\mathcal{Y}$.
4. Équivalence de Quillen : L'objectif est de montrer que sous certaines conditions, ces deux structures de modèles sont équivalentes au sens de Quillen. Une équivalence de Quillen induit une équivalence triangulaire entre leurs catégories d'homotopie.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Réalisation des Catégories d'Homotopie comme Catégories d'Homotopie de Modèles

Les auteurs prouvent que les catégories d'homotopie de chaînes $K(\mathcal{X})$ et $K(\mathcal{Y})$ peuvent être réalisées comme les catégories d'homotopie de structures de modèles spécifiques sur $\text{Ch}(\mathcal{A}, \mathcal{E})$ :

• Théorème 4.9 : Si $(\mathcal{X}_{dw})^\perp$ est clos par sommes directes, alors $M_{dw}^\mathcal{X}$ est une structure de modèle et $\text{Ho}(M_{dw}^\mathcal{X}) \simeq K(\mathcal{X})$.
• De même, si ${}^\perp(\mathcal{Y}_{dw})$ est clos par produits directs, alors $M_{dw}^\mathcal{Y}$ est une structure de modèle et $\text{Ho}(M_{dw}^\mathcal{Y}) \simeq K(\mathcal{Y})$.

B. Condition d'Équivalence Triangulaire

Le résultat central est le Théorème 4.10 :

Si $(\mathcal{X}_{dw})^\perp = {}^\perp(\mathcal{Y}_{dw})$, alors il existe une équivalence triangulaire $K(\mathcal{X}) \simeq K(\mathcal{Y})$.

Cette condition signifie que les objets triviaux (acycliques) des deux structures de modèles coïncident. Cela permet d'établir l'équivalence sans supposer que la dimension de résolution est finie, généralisant ainsi les résultats antérieurs de Chen.

C. Applications Spécifiques

Les auteurs appliquent ce cadre général à plusieurs contextes importants :

1. Triples de Cotorsion (Section 5.1) :
   Ils montrent que si $(\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{Y})$ est un triple de cotorsion complet et héréditaire, et si certaines conditions de régularité sur les résolutions sont remplies (égalité entre les résolutions "dg" et "dw"), alors l'équivalence $K(\mathcal{X}) \simeq K(\mathcal{Y})$ restreint à une équivalence entre les catégories des objets projectifs et injectifs ($K(\mathcal{P}) \simeq K(\mathcal{I})$).

2. Modules Gorenstein (Section 5.2) :

   • Pour un anneau virtuellement Gorenstein (où $\mathcal{GP}^\perp = {}^\perp\mathcal{GI}$), ils récupèrent et étendent les résultats de Chen.
   • Ils traitent le cas des anneaux de dimension globale Gorenstein finie et des anneaux de dimension faible globale Gorenstein finie, prouvant $K(\mathcal{GP}) \simeq K(\mathcal{GI})$.

3. Objets Purement Projectifs et Injectifs (Section 5.3) :
   C'est une contribution majeure. Ils considèrent une catégorie de Grothendieck localement finiment présentée. Ils montrent que la paire $(\mathcal{PP}, \mathcal{PI})$ (objets purement projectifs et injectifs) forme une paire équilibrée admissible.

   • En utilisant un résultat de Šťovíček, ils démontrent que $(\mathcal{PP}_{dw})^\perp = {}^\perp(\mathcal{PI}_{dw})$.
   • Corollaire 5.11 : Il existe une équivalence triangulaire $K(\mathcal{PP}) \simeq K(\mathcal{PI})$.
   • Cela généralise un résultat de Chen qui nécessitait une hypothèse de dimension globale pure finie. Ici, aucune hypothèse de dimension finie n'est requise.

4. Signification et Impact

• Généralisation : L'article fournit un cadre unifié qui englobe et dépasse les résultats connus sur les équivalences entre catégories d'homotopie de modules projectifs, injectifs, Gorenstein et purement projectifs/injectifs.
• Nouvelle Approche : Contrairement à l'approche de Chen basée sur les catégories dérivées relatives, cette méthode utilise directement les équivalences de Quillen entre structures de modèles. Cela offre une perspective différente et souvent plus robuste pour traiter les cas de dimension infinie.
• Résolution de Cas Ouverts : La démonstration de l'équivalence $K(\mathcal{PP}) \simeq K(\mathcal{PI})$ sans hypothèse de dimension finie est un résultat significatif, raffinant la compréhension des structures homologiques dans les catégories de Grothendieck.
• Outils Techniques : La construction explicite des structures de modèles (via les triplets de Hovey) sur les catégories de complexes exacts fournit des outils puissants pour l'analyse future des catégories dérivées et d'homotopie dans des contextes relatifs.

En résumé, cet article établit un pont solide entre la théorie des paires équilibrées et la théorie des catégories de modèles, permettant de déduire des équivalences triangulaires profondes sous des conditions purement algébriques sur les classes d'objets, sans restriction de dimension.