Sharp quantitative Talenti's inequality in particular cases

1. Problématique et Contexte

L'article se concentre sur une version quantitative et précise de l'inégalité de symétrisation de Talenti.
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert borné et $f \in L^2(\Omega)$. On note $u_f$ la solution faible unique du problème de Dirichlet :
$$\begin{cases} -\Delta u_f = f & \text{dans } \Omega \\ u_f = 0 & \text{sur } \partial\Omega \end{cases}$$
L'inégalité classique de Talenti compare $u_f$ à la solution $v$ du problème symétrisé (où $\Omega^\sharp$ est la boule centrée de même volume que $\Omega$, et $f^\sharp$ est la symétrisation de Schwarz de $f$) :
$$\begin{cases} -\Delta v = f^\sharp & \text{dans } \Omega^\sharp \\ v = 0 & \text{sur } \partial\Omega^\sharp \end{cases}$$
L'inégalité établit que pour tout $p \in [1, +\infty]$, $\|u_f\|_{L^p(\Omega)} \le \|v\|_{L^p(\Omega^\sharp)}$.

Le problème ouvert : Les versions quantitatives existantes de cette inégalité (mesurant l'écart entre les normes $L^p$ en fonction de l'asymétrie du domaine $\Omega$ et de la fonction $f$) présentaient des exposants non optimaux ou manquaient de contrôle sur l'asymétrie de $f$.

L'objectif de l'article : Établir une inégalité de stabilité sharp (avec l'exposant optimal) dans un cas particulier mais fondamental :

• Le domaine est fixe : $\Omega = B_1$ (la boule unité centrée).
• La fonction source $f$ est une fonction caractéristique d'un sous-ensemble $E \subset B_1$, c'est-à-dire $f = \chi_E$.
• On cherche à minorer le déficit $\|u_{B^*}\|_{L^p} - \|u_E\|_{L^p}$ par une puissance de la distance asymétrique $|E \Delta B^*|$, où $B^*$ est la boule centrée de même volume que $E$.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche géométrique basée sur le calcul de formes (shape derivatives) et des principes d'optimisation de formes. La preuve est divisée selon la valeur de $p$.

A. Cas $p=1$

La preuve est directe et repose sur l'inégalité de Talenti et l'étude d'un problème d'optimisation de forme.

• Stratégie : On cherche le "pire" ensemble $E$ (celui qui maximise la norme $L^1$ de la solution pour une asymétrie donnée).
• Résultat clé : Le pire ensemble est identifié explicitement comme une union d'une boule et d'une couronne (une forme en "cible" ou target-shaped set).
• Calcul : En utilisant la linéarité et la comparaison de Talenti, on montre que le déficit est contrôlé par le carré de la mesure de la différence symétrique.

B. Cas $1 < p < \infty$

Ce cas est plus complexe car le problème d'optimisation ne peut pas être résolu explicitement. Les auteurs utilisent une stratégie de "principe de sélection" (inspirée de Cicalese et Leonardi pour l'inégalité isopérimétrique).

• Réduction à une stabilité locale : On montre qu'il suffit de prouver la stabilité pour des perturbations lisses de la boule $B^*$. Si la stabilité échoue globalement, on peut construire une suite de perturbations lisses qui contredit la stabilité locale.
• Outils techniques :
  • Principe de la baignoire quantitatif (Quantitative Bathtub Principle) : Utilisé pour approximer des ensembles arbitraires par des ensembles de niveau d'un état adjoint.
  • Calcul de dérivées de forme : Calcul des dérivées première et seconde du fonctionnel $J(E) = \int_{B_1} j(u_E) dx$ (avec $j(s)=s^p$).
  • Condition de coercivité : Démonstration que la dérivée seconde de Lagrangien est strictement négative (coercive) sur l'espace des perturbations orthogonales au volume, en utilisant les harmoniques sphériques et l'analyse spectrale d'un opérateur intégral lié à l'état adjoint.
  • Continuité améliorée : Contrôle du terme de reste dans le développement de Taylor de la dérivée seconde.

C. Cas $p = \infty$

La norme $L^\infty$ pose des défis supplémentaires car le maximum de la solution n'est pas nécessairement unique ou stable sans hypothèses fortes.

• Adaptation : Les auteurs utilisent la fonction de Green de la boule pour représenter la solution. Le point de maximum $x_E$ de la solution $u_E$ est montré comme étant unique et dépendant de manière $C^1$ de la forme du domaine (via le théorème des fonctions implicites).
• Dérivée seconde : Un calcul de dérivée seconde de la norme $L^\infty$ par rapport à la forme est effectué, ce qui est une contribution technique nouvelle dans ce contexte.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est le Théorème 1.1 :

Soit $n \ge 1$, $p \in [1, +\infty]$ et $m \in (0, |B_1|)$. Il existe une constante $c = c(p, m, n) > 0$ telle que pour tout ensemble mesurable $E \subset B_1$ de mesure $m$, on a :
$$\|u_{B^*}\|_{L^p(B_1)} - \|u_E\|_{L^p(B_1)} \ge c |E \Delta B^*|^2$$
où $B^*$ est la boule centrée de volume $m$.

Points clés des résultats :

1. Exposant Sharp : L'exposant 2 est optimal. Les auteurs montrent que l'on ne peut pas obtenir un exposant inférieur (par exemple $2+\epsilon$) en construisant des suites de perturbations (couronnes) où le rapport du déficit sur la puissance de l'asymétrie tend vers 0.
2. Constantes explicites : Pour $p=1$, la constante $c$ est donnée explicitement (dépendant de $m$ et $n$). Pour $p>1$, la preuve par contradiction ne fournit pas de constante explicite, mais l'existence est garantie.
3. Généralisation : Le Théorème 1.3 établit un résultat plus général pour des fonctionnelles de la forme $J(E) = \int j(u_E)$ sous des hypothèses de convexité stricte et de comportement de $j$ près de 0, couvrant ainsi le cas $p \in (1, \infty)$.

4. Contributions Techniques Majeures

• Optimalité de l'exposant : C'est le premier résultat quantitatif pour l'inégalité de Talenti avec un exposant de stabilité sharp (2) dans le cas où la fonction source est une fonction caractéristique.
• Analyse spectrale pour la coercivité : La preuve de la coercivité de la dérivée seconde (Section 4.2) utilise une diagonalisation fine de l'opérateur de dérivée seconde via les harmoniques sphériques, permettant de séparer les modes de déformation (volume vs forme).
• Traitement du cas $L^\infty$ : L'article fournit une méthode rigoureuse pour calculer la dérivée seconde de la norme $L^\infty$ d'une solution d'EDP par rapport à la forme du domaine, en gérant la dépendance du point de maximum.
• Rigueur sur la convergence des ensembles de niveau : L'appendice (Section A) détaille les preuves de convergence des ensembles de niveau à partir de la convergence des fonctions, comblant des lacunes dans la littérature existante ([17, 18]).

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

1. Complétude de la théorie de stabilité : Il comble un vide entre les résultats qualitatifs (égalité si et seulement si symétrique) et les résultats quantitatifs existants (qui n'étaient pas optimaux).
2. Outils pour l'optimisation de forme : Les techniques développées, notamment le principe de sélection combiné au calcul de dérivées secondes pour des fonctionnelles non linéaires et des normes $L^\infty$, sont transférables à d'autres problèmes de stabilité géométrique (isopérimétrie, problèmes de torsion, etc.).
3. Précision des constantes : La capacité à obtenir des constantes explicites pour $p=1$ et à prouver l'optimalité de l'exposant 2 pour tous les $p$ renforce la compréhension fine de la rigidité de l'inégalité de Talenti.

En résumé, cet article établit une référence pour les inégalités de stabilité quantitative dans le cadre des problèmes de Dirichlet avec des sources caractéristiques, prouvant que la symétrie est une condition de stabilité quadratique optimale.