Note on a certain category of mod $p$ representations

1. Contexte et Problématique

Contexte :
L'article s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands modulo $p$. Soit $p > 3$ un nombre premier et $K = \mathbb{Q}_{p^f}$ un corps local non-archimédien. L'auteur étudie les représentations lisses admissibles modulo $p$ du groupe $G_{\text{big}}$, qui est soit $GL_2(K)$, soit le groupe des unités d'une algèbre de quaternions $D^\times$ sur $K$.

Le Problème :
Pour $f > 1$, la catégorie des représentations lisses admissibles modulo $p$ de $GL_2(K)$ est beaucoup plus vaste que celle des représentations galoisiennes du côté de Galois. Une difficulté majeure du programme de Langlands modulo $p$ est d'identifier quelles représentations de $GL_2(K)$ (ou $D^\times$) correspondent aux représentations galoisiennes.
Une sous-catégorie pleine $\mathcal{C}$ a été introduite dans des travaux antérieurs ([BHH+23a], [HW24]) pour capturer ces candidats potentiels. La définition de $\mathcal{C}$ repose sur des invariants attachés à la restriction d'une représentation $\pi$ à un sous-groupe ouvert spécifique (le sous-groupe pro-$p$ $G_1$). Cependant, la nature exacte de cette catégorie reste mystérieuse et mal comprise.

Question centrale :
La propriété d'appartenir à la catégorie $\mathcal{C}$ est-elle une propriété "locale" ? Autrement dit, peut-on déterminer si une représentation $\pi$ appartient à $\mathcal{C}$ en ne regardant que sa restriction à un sous-groupe ouvert arbitrairement petit ?

2. Méthodologie

L'auteur développe une approche algébrique basée sur la théorie des anneaux de groupes complets et les modules gradués associés.

Outils principaux :

1. Valuations $p$-adiques et bases ordonnées :

   • L'auteur utilise une valuation $p$-adique saturée $\omega$ sur le groupe pro-$p$ $G$ (de dimension $3f$).
   • Il introduit une base ordonnée $(g_1, \dots, g_{3f})$ de $G$, permettant d'identifier l'anneau de groupe complet $\mathbb{F}[[G]]$ à un anneau de séries formelles.
   • Cette structure permet de définir une filtration par valuation $\nu$ sur $\mathbb{F}[[G]]$, qui coïncide avec la filtration par l'idéal maximal $\mathfrak{m}_G$.

2. Modules gradués et anneaux associés :

   • Pour une représentation $\pi$, on considère son dual $\pi^\vee$ comme un module sur $\mathbb{F}[[G]]$.
   • La condition pour que $\pi \in \mathcal{C}$ est formulée en termes de l'annihilation du module gradué $\text{gr}(\pi^\vee)$ par une puissance d'un idéal bilatère spécifique $J_C \subset \text{gr}(\mathbb{F}[[G]])$.
   • L'idéal $J_C$ est tel que le quotient $\text{gr}(\mathbb{F}[[G]])/J_C$ est commutatif.

3. Restriction aux sous-groupes profonds :

   • L'auteur considère les sous-groupes $G_{p^N} = \{g^{p^N} \mid g \in G\}$ pour $N \ge 1$.
   • Il définit trois modules gradués associés à un module $M$ (ici $\pi^\vee$) :
     • $\text{gr}(M)$ : le module gradué standard par rapport à $\mathfrak{m}_G$.
     • $\text{gr}_{N, \text{int}}(M)$ : un module intermédiaire.
     • $\text{gr}_{N, \text{res}}(M)$ : un module construit à partir de la restriction de la filtration au sous-anneau $\mathbb{F}[[G_{p^N}]]$.
   • L'objectif est de montrer que la condition d'appartenance à $\mathcal{C}$ (annihilation par $J_C$) est équivalente à une condition d'annihilation sur le module $\text{gr}_{N, \text{res}}(M)$ par un idéal $J_N$ défini dans l'anneau gradué associé à $G_{p^N}$.

3. Résultats Clés et Contributions

Théorème Principal (Théorème 1) :
Soient $\pi$ et $\pi'$ deux représentations lisses de $G_{\text{big}}$ ayant le même caractère central. Si $\pi' \in \mathcal{C}$ et si $\pi|_H \cong \pi'|_H$ pour un sous-groupe ouvert $H$ de $G_{\text{big}}$, alors $\pi \in \mathcal{C}$.

Contributions techniques :

• Indépendance de la taille du sous-groupe : Le résultat établit que la propriété d'être dans $\mathcal{C}$ est une propriété locale. Elle ne dépend pas du comportement global de la représentation, mais uniquement de sa restriction à n'importe quel sous-groupe ouvert suffisamment petit (contenant un $G_{p^N}$).
• Équivalence des conditions d'annihilation : L'auteur prouve une série de lemmes (Lemmes 1 à 4) établissant des équivalences entre :
  1. L'annihilation de $\text{gr}(\pi^\vee)$ par une puissance de $J_C$.
  2. L'annihilation de $\text{gr}_{N, \text{int}}(\pi^\vee)$ par une puissance de $J_N$.
  3. L'annihilation de $\text{gr}_{N, \text{res}}(\pi^\vee)$ par une puissance de $J_N$.
• Généralisation : La preuve ne repose pas sur la description précise de l'idéal $J_C$, mais uniquement sur le fait que le quotient $\text{gr}(\mathbb{F}[[G]])/J_C$ est commutatif. Cela suggère que le résultat s'applique à toute catégorie définie de manière similaire par un idéal dont le quotient est commutatif.

Détails de la preuve :
La démonstration repose sur l'analyse fine de la structure de l'anneau gradué $\text{gr}_\nu \mathbb{F}[[G_{p^N}]]$. L'auteur montre que cet anneau est une algèbre de polynômes commutative engendrée par des éléments centraux (puissances $p^N$ des générateurs de base). Il utilise ensuite des inclusions de filtrations (Lemme 3) pour relier les idéaux de l'anneau global aux idéaux de l'anneau restreint, prouvant que l'annihilation sur le sous-groupe implique l'annihilation globale.

4. Signification et Implications

• Compréhension de la catégorie $\mathcal{C}$ : Ce résultat fournit un outil puissant pour étudier la catégorie $\mathcal{C}$. Il permet de réduire l'étude de représentations globales complexes à l'étude de leurs restrictions locales, ce qui est souvent plus maniable.
• Programme de Langlands : Dans le contexte de la correspondance de Langlands modulo $p$, ce théorème suggère que les candidats à la correspondance (construits par des méthodes globales via la cohomologie des variétés de Shimura) peuvent être caractérisés localement. Cela renforce l'idée que la "bonne" catégorie de représentations est celle qui respecte ces contraintes locales.
• Cas des quaternions : L'article étend également la théorie au cas des algèbres de quaternions, un domaine où la correspondance de Jacquet-Langlands modulo $p$ est encore en cours d'élaboration, en fournissant un cadre unifié pour les deux cas ($GL_2$ et $D^\times$).

En résumé, l'article de Sorgdrager établit un pont crucial entre la structure globale des représentations modulaires et leur comportement local, démontrant que la propriété d'appartenir à la catégorie "Langlands" $\mathcal{C}$ est entièrement détectable sur des voisinages arbitrairement petits de l'identité.