Gradient higher integrability for degenerate parabolic double phase systems with two modulating coefficients

1. Énoncé du problème

L'article étudie la régularité des solutions faibles de systèmes paraboliques doubles phases dégénérés impliquant deux coefficients modulateurs. Le système est donné par :
$$u_t - \text{div} \left( a(z)|Du|^{p-2}Du + b(z)|Du|^{q-2}Du \right) = -\text{div} \left( a(z)|F|^{p-2}F + b(z)|F|^{q-2}F \right)$$
dans un cylindre espace-temps $\Omega_T = \Omega \times (0, T)$, où :

• $2 \le p \le q < \infty$.
• $a(z)$ et $b(z)$ sont des coefficients modulateurs non négatifs.
• Hypothèses clés :
  • $a(z)$ est uniformément continue.
  • $b(z)$ est Hölderienne ($C^{\alpha, \alpha/2}$).
  • La somme des coefficients est minorée : $a(z) + b(z) \ge \delta > 0$ (empêchant une annulation simultanée).
  • Les exposants satisfont la condition de croissance standard pour les problèmes double phase : $q \le p + \frac{2\alpha}{n+2}$.

L'objectif principal est d'établir la haute intégrabilité locale du gradient spatial $Du$. Plus précisément, les auteurs visent à prouver que si le terme source $F$ et le gradient $Du$ possèdent une intégrabilité liée à la densité d'énergie $H(z, \xi) = a(z)|\xi|^p + b(z)|\xi|^q$, alors $Du$ possède en réalité une intégrabilité supérieure (c'est-à-dire $H(z, |Du|) \in L^{1+\varepsilon}_{loc}$).

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche sophistiquée de géométrie intrinsèque combinée à une stratégie de séparation de phases. Cela constitue une rupture significative par rapport aux travaux antérieurs sur les systèmes à un seul coefficient modulateur.

A. Géométrie intrinsèque

Le système présente des comportements de croissance différents selon l'ordre de grandeur relatif des coefficients $a(z)$ et $b(z)$. Pour gérer cela, les auteurs définissent trois types de cylindres intrinsèques mis à l'échelle par un paramètre $\lambda \ge 1$ :

1. Cylindres $p$-intrinsèques ($Q_{\rho, \lambda}$) : Où le terme de croissance $p$ domine ($a(z)\lambda^p \gtrsim b(z)\lambda^q$). La mise à l'échelle temporelle est $\sim \lambda^{2-p}$.
2. Cylindres $q$-intrinsèques ($J_{\rho, \lambda}$) : Où le terme de croissance $q$ domine ($b(z)\lambda^q \gtrsim a(z)\lambda^p$). La mise à l'échelle temporelle est $\sim \lambda^{2-q}$.
3. Cylindres $(p, q)$-intrinsèques ($G_{\rho, \lambda}$) : Où les deux termes sont comparables. La mise à l'échelle temporelle est déterminée par la somme $\Lambda = a(z)\lambda^p + b(z)\lambda^q$.

B. Séparation de phases et schéma de comparaison

La nouveauté centrale réside dans le schéma de comparaison délicat utilisé pour séparer les phases. Contrairement aux études antérieures sur le cas elliptique ou les systèmes paraboliques à coefficient unique, la présence de deux coefficients et la nature parabolique créent neuf cas distincts basés sur la taille de $a(z)$ et $b(z)$ à l'intérieur des cylindres intrinsèques :

• Phase $p$ : $a(z)$ est grand, $b(z)$ est petit.
• Phase $q$ : $b(z)$ est grand, $a(z)$ est petit.
• Phase $(p, q)$ : Les deux coefficients sont significatifs.

Les auteurs doivent gérer soigneusement la transition entre ces phases, en veillant à ce que les paramètres de mise à l'échelle intrinsèque ($\lambda$) et les rayons des cylindres soient choisis de manière cohérente pour satisfaire les inégalités de Hölder inverses nécessaires.

C. Étapes techniques clés

1. Estimations d'énergie : Dérivation d'inégalités de type Caccioppoli adaptées à la structure double phase.
2. Inégalités de Hölder inverses : Preuve de ces inégalités séparément pour chacune des trois phases ($p$, $q$ et mixte). Cela implique des estimations complexes utilisant la continuité de $a(z)$ et la continuité Hölderienne de $b(z)$ pour contrôler les "termes croisés" où un coefficient est petit mais non nul.
3. Argument de temps d'arrêt : Un argument raffiné est utilisé pour sélectionner le rayon intrinsèque approprié pour tout point de l'ensemble de sur-niveau du gradient. Cela garantit que le point tombe dans l'une des trois phases définies.
4. Lemme de recouvrement de Vitali : Un lemme de recouvrement généralisé est construit pour gérer les neuf combinaisons possibles de cylindres intrinsèques (par exemple, un cylindre $p$ recouvrant un cylindre $q$, etc.). Les auteurs prouvent que les facteurs de mise à l'échelle $\lambda$ sont comparables à travers les cylindres qui s'intersectent, permettant un argument de recouvrement unifié.
5. Lemme de Gehring : L'étape finale combine les inégalités de Hölder inverses avec le lemme de recouvrement et le théorème de Fubini pour rehausser l'intégrabilité de $L^1$ vers $L^{1+\varepsilon}$.

3. Contributions clés

• Premier résultat parabolique pour deux coefficients : Il s'agit du premier résultat de régularité pour les systèmes paraboliques double phase à deux coefficients modulateurs. Les résultats précédents se limitaient au cas elliptique ou aux cas paraboliques avec un seul coefficient (par exemple, $a(z) \equiv 1$).
• Géométrie intrinsèque unifiée : L'article étend avec succès la méthode de géométrie intrinsèque à un système où la phase dominante peut basculer entre $p$ et $q$ (ou être mixte) selon les valeurs locales de deux coefficients distincts.
• Traitement de la continuité uniforme : Les auteurs assouplissent l'exigence de régularité sur $a(z)$ pour la continuité uniforme (plutôt que la continuité Hölderienne), ce qui est une hypothèse plus générale et techniquement plus difficile dans le contexte des problèmes double phase.
• Analyse en neuf cas : Le traitement rigoureux des neuf cas géométriques distincts résultant de l'interaction des deux coefficients et des trois phases intrinsèques représente une avancée technique significative par rapport à la littérature existante.

4. Résultats principaux

Le théorème principal (Théorème 1.1) établit la haute intégrabilité locale du gradient. Plus précisément, pour une solution faible $u$, il existe des constantes $\varepsilon_0 > 0$ et $c \ge 1$ telles que pour tout cylindre $Q_{2r}(z_0) \subset \Omega_T$ :

$$\iint_{Q_r(z_0)} H_1(z, |Du|)^{1+\varepsilon} \, dz \le c \left( \iint_{Q_{2r}(z_0)} H_1(z, |Du|) \, dz \right)^{1 + \frac{\varepsilon q}{2}} + c \left( \iint_{Q_{2r}(z_0)} H_1(z, |F|)^{1+\varepsilon} \, dz \right)^{\frac{q}{2}}$$

où $H_1(z, \kappa) = a(z)\kappa^p + b(z)\kappa^q + 1$ et $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0)$.

Ce résultat implique que le gradient $Du$ appartient à un espace de Lebesgue plus élevé que celui initialement supposé, ce qui est une étape cruciale vers la preuve de propriétés de régularité ultérieures telles que la continuité Hölderienne ou les estimations de Calderón-Zygmund.

5. Importance

• Modélisation de matériaux anisotropes : Les systèmes double phase modélisent des matériaux aux propriétés fortement anisotropes (par exemple, des composites avec des comportements de durcissement différents). L'inclusion de deux coefficients modulateurs fournit un cadre plus réaliste pour de tels matériaux que les modèles à coefficient unique.
• Fondement théorique : En établissant la haute intégrabilité, ce travail pose les bases nécessaires pour les recherches futures sur la régularité partielle (continuité Hölderienne) et les estimations de Calderón-Zygmund pour les systèmes paraboliques double phase à deux coefficients.
• Avancement méthodologique : Les techniques développées, en particulier la gestion de la phase "mixte" et le recouvrement de Vitali en neuf cas, fournissent une boîte à outils robuste pour l'analyse d'autres systèmes paraboliques dégénérés avec des conditions de croissance non standard.

En résumé, cet article résout un problème majeur ouvert dans la théorie de la régularité des EDP paraboliques en adaptant avec succès les méthodes de mise à l'échelle intrinsèque à l'environnement complexe et multiphasique créé par deux coefficients modulateurs.