A generalized global Hartman-Grobman theorem for asymptotically stable semiflows

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la limitation fondamentale des théorèmes de linéarisation classiques, tels que le théorème de Hartman-Grobman. Bien que ce théorème permette de linéariser localement les systèmes non linéaires autour d'un point d'équilibre hyperbolique, il échoue à fournir une description globale et ne s'applique pas aux systèmes non hyperboliques.

Plus récemment, Kvalheim et Sontag ont étendu ce résultat pour des champs de vecteurs continus asymptotiquement stables, en utilisant les propriétés topologiques des fonctions de Lyapunov pour se passer de l'hypothèse d'hyperbolicité. Cependant, leur travail suppose la continuité du champ de vecteurs.

Le problème central abordé par l'auteur est le suivant : Comment généraliser ce résultat de linéarisation globale à des systèmes générant des semi-flows, où le champ de vecteurs peut être discontinu (notamment à l'équilibre) et où la stabilité peut être atteinte en temps fini ?

Ces systèmes apparaissent dans des contextes de contrôle par retour d'état discontinu, de stabilité en temps fini, et d'analyse de robustesse via des inclusions différentielles (opérateur de Filippov).

2. Méthodologie

L'approche de l'auteur repose sur une extension topologique des résultats de Kvalheim et Sontag, adaptée aux semi-flows et aux discontinuités.

• Cadre Mathématique :

  • L'étude porte sur des sous-variétés $M \subseteq \mathbb{R}^k$ lisses.
  • Les champs de vecteurs considérés sont à valeurs ensemblistes (via l'opérateur de Filippov) en un point $x'$ (l'équilibre), localement essentiellement bornés, et localement lipschitziens ailleurs.
  • Les solutions sont comprises au sens de Filippov, générant un semi-flot $\phi$ (défini pour $t \ge 0$, car la réversibilité temporelle n'est pas garantie, notamment pour les systèmes à stabilité en temps fini).

• Stratégie de Preuve :

  • Fonction de Lyapunov : Utilisation d'une fonction de Lyapunov $C^\infty$ $V$ associée à la stabilité asymptotique de l'équilibre $x^*$.
  • Construction de l'Homéomorphisme : L'auteur construit un homéomorphisme $h: B(x^*) \to \mathbb{R}^n$ (où $B(x^*)$ est le bassin d'attraction) qui conjugue le semi-flot non linéaire à un flot linéaire canonique $\dot{y} = -y$ (ou $e^{-t}y$).
  • Gestion de la Discontinuité et du Temps Fini :
    • Contrairement aux flots classiques où l'on peut remonter le temps à l'infini ($t \to -\infty$), les semi-flows à stabilité en temps fini atteignent l'équilibre en un temps fini $T^*_+(x)$.
    • L'auteur contourne la difficulté de la continuité de $T^*_+$ (qui peut être discontinue) en définissant l'homéomorphisme par rapport à des surfaces de niveau de Lyapunov $L_\varepsilon = V^{-1}(\varepsilon)$ plutôt qu'en s'approchant directement de $x^*$.
    • La construction sépare le domaine en deux régions : l'intérieur d'une boule $B(0, r)$ (où la dynamique est modifiée pour préserver la stabilité en temps fini) et l'extérieur (où la dynamique est linéarisée).

• Cas Étudiés :

  • Cas (I) : Le bassin d'attraction permet un retour en arrière illimité hors de l'équilibre (ex: $\mathbb{R}^n$).
  • Cas (II) : Le bassin d'attraction est borné ou possède des frontières ($\partial M \neq \emptyset$), nécessitant une déformation plus complexe de l'espace.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est le Théorème II.2, un théorème de Hartman-Grobman global sans hypothèse d'hyperbolicité pour les semi-flows asymptotiquement stables.

• Énoncé du Théorème : Pour tout $r > 0$, il existe un homéomorphisme $h_r : B(x^*) \to \mathbb{R}^n$ et une fonction $\gamma_r \in \mathcal{K}_\infty$ (strictement croissante, nulle à l'origine, tendant vers l'infini) tels que, pour tout point $y$ hors d'une boule $B(0, r)$, la dynamique conjuguée coïncide avec la dynamique linéaire $e^{-t}y$ tant que le temps $t$ reste dans un intervalle déterminé par $\gamma_r$.
  $$h_r \circ \phi_t \circ h_r^{-1}(y) = e^{-t \cdot I_n}(y)$$
  pour $0 \le t \le \gamma_r(\|y\|_2 - r)$.

• Interprétation "Pratique" :

  • Le théorème établit que, à l'extérieur de n'importe quel voisinage arbitrairement petit de l'équilibre, tout semi-flot asymptotiquement stable est topologiquement conjugué au flot linéaire canonique $\dot{y} = -y$.
  • À l'intérieur de ce voisinage ($B(0, r)$), la conjugaison préserve la nature de la stabilité (asymptotique ou en temps fini) du système original.
  • Cela signifie que les systèmes à stabilité en temps fini et les systèmes à stabilité asymptotique sont "pratiquement indiscernables" d'un point de vue topologique global, sauf dans un voisinage infinitésimal de l'équilibre.

• Exemple Illustratif :

  • L'auteur applique le théorème au champ de vecteurs discontinu $\dot{x} = -x/\|x\|^2$ (stabilité en temps fini).
  • Il montre explicitement comment transformer ce système en un système linéaire $\dot{y} = -y$ à l'extérieur d'une sphère, tout en conservant la dynamique de type "chute libre" (stabilité en temps fini) à l'intérieur de cette sphère après transformation.

4. Contributions Clés

1. Généralisation aux Champs Discontinus : Extension du théorème de Kvalheim-Sontag aux champs de vecteurs à valeurs ensemblistes (Filippov), couvrant ainsi les systèmes à commutation et à retour d'état discontinu.
2. Théorème pour Semi-flows : Adaptation de la linéarisation globale aux semi-flows, gérant l'absence de réversibilité temporelle et la possibilité de stabilité en temps fini.
3. Absence d'Hyperbolicité : Le résultat ne repose pas sur la linéarisation locale (matrice Jacobienne) ni sur l'hyperbolicité, mais uniquement sur la stabilité asymptotique et les propriétés topologiques de la fonction de Lyapunov.
4. Construction Semi-Constructive : La preuve fournit une méthode explicite pour construire l'homéomorphisme de conjugaison à partir d'une fonction de Lyapunov donnée.

5. Signification et Implications

• Théorie des Systèmes Dynamiques : Ce travail affine la compréhension de l'équivalence topologique. Il démontre que la distinction entre stabilité asymptotique et stabilité en temps fini est une question de "détails locaux" près de l'équilibre, et non une différence structurelle globale.
• Théorie de Koopman : Bien que l'article ne se concentre pas sur les opérateurs de Koopman, il renforce le cadre de la linéarisation globale. Il suggère que des coordonnées globales où la dynamique apparaît linéaire (ou presque) sont possibles même pour des systèmes non hyperboliques et discontinus, ce qui est un défi majeur en théorie de Koopman.
• Apprentissage de Données (Data-Driven Learning) : L'observation que tous les systèmes asymptotiquement stables sont "pratiquement" conjugués a des implications pour l'apprentissage de modèles dynamiques à partir de données. Cela suggère qu'il est possible d'apprendre une représentation linéaire globale d'un système complexe, à condition de tolérer une déformation non linéaire dans un voisinage de l'équilibre.
• Stabilité Pratique : Le résultat introduit une notion de "linéarisation pratique", analogue à la stabilité pratique, où la linéarité exacte est obtenue partout sauf dans une région de tolérance autour de l'équilibre.

En conclusion, l'article établit un pont puissant entre la théorie de la stabilité, la topologie différentielle et l'analyse des systèmes non lisses, offrant un outil théorique robuste pour l'analyse globale de systèmes complexes et discontinus.