Hyperbolicity and GCD for n+1 divisors with non-empty intersection

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le cadre de la conjecture de Green-Griffiths-Lang, qui prédit le comportement hyperbolique des courbes entières sur les variétés quasi-projectives de type général (log-général). Plus précisément, la conjecture stipule que l'image de toute courbe entière $f : \mathbb{C} \to X \setminus D$ (où $D$ est un diviseur) est contenue dans une sous-variété algébrique propre de $X$ (dégénérescence algébrique).

Le problème spécifique abordé :
Les auteurs étudient le cas où la variété $X$ est de dimension complexe $n$ et où le diviseur de bord $D$ est l'union de $n+1$ diviseurs effectifs numériquement parallèles ($D_1, \dots, D_{n+1}$).

• Condition de parallélisme numérique : Il existe des entiers positifs $a_i$ tels que les diviseurs $a_i D_i$ sont tous numériquement équivalents à un diviseur ample $D$.
• Nouvelle difficulté : Contrairement aux résultats antérieurs (comme ceux de Noguchi, Winkelmann et Yamanoi) qui supposaient que les diviseurs avaient des intersections transverses (croisements normaux), cet article traite le cas où les diviseurs ont une intersection non vide ($\bigcap_{i=1}^{n+1} D_i \neq \emptyset$).

Cette situation introduit des défis géométriques et analytiques majeurs, notamment le contrôle du comportement local près de la variété d'intersection, ce qui rend les méthodes classiques insuffisantes.

2. Méthodologie

La stratégie des auteurs repose sur une extension des techniques développées par Levin, Huang et Xiao (référence [5] dans le texte) du cas des surfaces ($n=2$) aux dimensions supérieures ($n \ge 2$).

A. Outils de la Théorie de Nevanlinna

L'approche utilise la théorie de Nevanlinna complexe, reliant la géométrie des courbes entières à l'approximation diophantienne via le "dictionnaire de Vojta".

• Fonctions de proximité et de comptage : Utilisation des fonctions $m_f(D, r)$ et $N_f(D, r)$ associées aux diviseurs et aux sous-schémas fermés.
• Constantes $\beta$ : Introduction de la constante $\beta(L, Y)$ (généralisation de la constante $\alpha$ d'Autissier), définie comme une limite inférieure de rapports de dimensions d'espaces de sections de fibrés en droites tordus par les puissances de l'idéal d'un sous-schéma $Y$. Cette constante mesure la "richesse" des sections s'annulant sur $Y$.

B. Généralisation des Séquences Régulières

Un point clé est la généralisation du théorème de Ru-Vojta aux séquences régulières de sous-schémas fermés.

• Les auteurs considèrent des chaînes d'intersections $D_1 \supset D_1 \cap D_2 \supset \dots \cap D_m$ qui forment une séquence régulière.
• Ils établissent un Second Théorème Principal (Théorème 1.9) pour des suites de diviseurs et de sous-schémas, utilisant des filtrations spécifiques sur les espaces de sections globales $H^0(X, L^N)$.

C. Techniques de Filtration

Pour prouver les inégalités, les auteurs construisent des filtrations sur les espaces de sections :

1. Filtration par ordre d'annulation : Le long des diviseurs $D_i$ et le long des sous-schémas d'intersection $Y$.
2. Filtration "mouvante" (Moving Filtration) : Inspirée d'Autissier, utilisée pour remplacer les filtrations statiques dans les dimensions supérieures.
3. Lemme technique : Utilisation de lemmes sur les idéaux quotients $(I : J)$ et les séquences régulières pour contrôler les ordres d'annulation des sections.

3. Résultats Principaux

A. Théorème d'Hyperbolicité (Théorème 1.5 et 4.6)

Sous des conditions explicites sur les constantes $\beta$ ou les multiplicités d'intersection locales, les auteurs prouvent que toute courbe entière non constante dans le complément des $n+1$ diviseurs est algébriquement dégénérée.

Conditions suffisantes :
Pour tout point $Q$ dans l'intersection totale et pour toute sous-ensemble $I$ de $n$ indices :
$$\beta\left(D, \left(\bigcap_{i \in I} a_i D_i\right)_Q\right) > 1$$
Ou, de manière équivalente en termes de multiplicités locales $(D_i)^I_Q$ :
$$(D_i)^I_Q < \left(\frac{n}{n+1}\right)^n (D_i)^I$$
Sous ces hypothèses, il existe une sous-variété propre $Z \subset X$ contenant l'image de toute courbe entière $f : \mathbb{C} \to X \setminus \bigcup D_i$.

B. Estimation de type GCD (Théorème 1.10 et 5.1)

Les auteurs déduisent un résultat de type "Plus Grand Commun Diviseur" (GCD) pour les points entiers (ou courbes entières).
Si les conditions ci-dessus sont satisfaites (notamment si l'intersection de $n$ diviseurs contient plus d'un point), alors pour tout $\epsilon > 0$, il existe une sous-variété propre $Z$ telle que pour toute courbe $f$ hors de $Z$ :
$$T_{f, \bigcap_{i \in I_0} a_i D_i}(r) \le \epsilon T_{f, D}(r)$$
Cela signifie que la courbe ne peut pas "toucher" l'intersection des diviseurs de manière trop fréquente par rapport à sa croissance globale.

4. Contributions Clés

1. Extension aux dimensions supérieures : Généralisation réussie des résultats de dégénérescence pour les surfaces (cas $n=2$) aux variétés de dimension $n$, en présence d'intersections non vides.
2. Traitement des intersections non vides : Résolution des difficultés analytiques liées aux points d'intersection multiples, là où les méthodes classiques de croisements normaux échouent.
3. Optimisation des conditions locales : Démonstration que la condition sur la constante $\beta$ est non seulement suffisante mais aussi tranchante (sharp), illustrée par des contre-exemples (Exemples 4.1 et 4.2) montrant que si la condition n'est pas remplie, la dégénérescence peut échouer.
4. Cadre unifié : Établissement d'un Second Théorème Principal (Théorème 1.9) pour des séquences régulières de sous-schémas, offrant un outil puissant applicable au-delà du cas spécifique des diviseurs.

5. Signification et Impact

• Théorie de Nevanlinna : Ce travail enrichit significativement la théorie de Nevanlinna en dimension supérieure, en fournissant des outils pour traiter des configurations de diviseurs plus complexes que les croisements normaux.
• Lien avec l'Arithmétique : Comme mentionné dans l'introduction, ces résultats ont des analogues directs en théorie des nombres (conjecture de Lang-Vojta). La preuve de la dégénérescence des courbes entières dans ce contexte géométrique soutient l'hypothèse que les points entiers sur ces variétés sont également dégénérés, un problème ouvert même pour les surfaces ($n=2$) dans le cas d'intersections non vides.
• Méthodologie : L'introduction de filtrations adaptées aux séquences régulières et l'utilisation fine des constantes $\beta$ ouvrent de nouvelles voies pour l'étude de l'hyperbolicité des variétés quasi-projectives.

En résumé, cet article constitue une avancée majeure en géométrie complexe et en théorie de Nevanlinna, en levant l'hypothèse restrictive de croisements normaux pour les diviseurs parallèles et en établissant des critères précis de dégénérescence basés sur la géométrie locale des intersections.