Characterization of fiberwise bimeromorphism and specialization of bimeromorphic types I: locally Moishezon case

1. Problématique et Contexte

Le papier s'attaque à la question de la spécialisation des types bimeromorphes dans le cadre de la géométrie analytique complexe. Ce problème consiste à déterminer, étant donné deux familles de déformation $\pi_1: X \to S$ et $\pi_2: Y \to S$ sur une même base $S$, si l'équivalence bimeromorphe entre les fibres génériques implique l'équivalence bimeromorphe entre toutes les fibres, y compris les fibres spéciales (ou singulières).

• Contexte Algébrique : Des résultats majeurs récents (Kontsevich-Tschinkel [KT19], Nicaise-Ottem [NO21]) ont résolu ce problème pour les familles lisses dans la catégorie des schémas, en utilisant des morphismes de spécialisation associés aux corps de fonctions.
• Défi Analytique : Dans le cadre analytique complexe, la construction d'un morphisme de spécialisation analogue est difficile, voire impossible, en raison de l'absence de structures algébriques globales adéquates. De plus, les familles considérées ici ne sont pas nécessairement lisses et peuvent avoir des fibres réductibles ou des singularités.
• Objectif Principal : Caractériser les conditions sous lesquelles une application bimeromorphe globale entre les espaces totaux de deux familles est bimeromorphe fibre par fibre (c'est-à-dire qu'elle induit une équivalence bimeromorphe sur chaque fibre), et utiliser cette caractérisation pour établir des résultats de spécialisation pour des familles localement Moishezon, même singulières.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche hybride combinant la théorie des modifications propres, la théorie des espaces de cycles de Barlet relatifs et le comportement des plurigenres sous déformation.

A. Caractérisation de la bimeromorphie fibre par fibre

L'objectif est de déterminer quand une application bimeromorphe $f: X \dashrightarrow Y$ sur $S$ induit une équivalence bimeromorphe sur chaque fibre $X_t \dashrightarrow Y_t$. Les auteurs identifient deux obstacles principaux :

1. Le diviseur de ramification : Ils montrent (Théorème 3.1) que pour un morphisme bimeromorphe (et non juste une application), la ramification ne constitue pas un obstacle : les composantes irréductibles des fibres sont envoyées sur des composantes irréductibles bimeromorphes.
2. Le lieu d'indétermination : Pour une application bimeromorphe générale, il faut résoudre les indéterminations par éclatements. Le défi est de s'assurer que les diviseurs exceptionnels introduits ne "volent" pas les composantes des fibres originales.

Pour surmonter cela, les auteurs utilisent deux stratégies :

• Théorie de la désingularisation (Section 4.1) : Si l'espace total est lisse et que les fibres ne sont pas uniréglées, les diviseurs exceptionnels des éclatements sont uniréglés. Cela permet de distinguer les composantes "bonnes" (non uniréglées) des diviseurs exceptionnels.
• Comportement des plurigenres (Section 4.2) : C'est l'apport central. En utilisant les résultats de Takayama sur l'extension et la semi-continuité des plurigenres pour les familles localement Moishezon, les auteurs établissent que si le Kodaira dimension est non négatif ($\kappa \ge 0$), le comportement des plurigenres force l'existence d'une composante bimeromorphe unique et exclut que les diviseurs exceptionnels soient les composantes principales des fibres.

B. Utilisation de l'Espace de Cycles de Barlet Relatif

Pour passer de l'existence d'une application bimeromorphe générique à une application globale, les auteurs s'appuient sur la théorie des cycles de Barlet (inspirée de Mumford, Persson, Timmerscheidt).

• Ils considèrent l'espace de cycles relatifs $C_n(X \times_S Y / S)$.
• En utilisant la compacité des composantes irréductibles de cet espace (Lemme 7.2) et la connexité, ils construisent une application bimeromorphe globale entre les espaces totaux (après un changement de base fini) qui relie les fibres génériquement bimeromorphes.

3. Résultats Clés et Contributions

A. Caractérisation de la bimeromorphie fibre par fibre

• Théorème 1.4 : Un morphisme bimeromorphe entre familles est fibre par fibre bimeromorphe.
• Théorème 1.5 & 1.6 : Pour une application bimeromorphe, si les fibres ne sont pas uniréglées (cas lisse) ou si les conditions de semi-continuité des plurigenres sont satisfaites (cas singulier, $\kappa \ge 0$), alors l'application est fibre par fibre bimeromorphe.
• Théorème 1.7 (Cas Localement Moishezon) : Pour des familles localement Moishezon avec des fibres à singularités canoniques et $\kappa \ge 0$, une application bimeromorphe globale induit une équivalence bimeromorphe sur chaque fibre. Ce résultat est optimal car il échoue si $\kappa = -\infty$ (contre-exemples de Lin).

B. Spécialisation des types bimeromorphes

• Théorème 1.8 (Théorème 7.13) : Soient $\pi_1, \pi_2$ deux familles localement Moishezon, universellement normales, avec des fibres à singularités canoniques et $\kappa \ge 0$. L'ensemble des points $t \in S$ où les fibres $X_t$ et $Y_t$ sont bimeromorphes est soit l'ensemble entier $S$, soit une union dénombrable de sous-ensembles analytiques propres de $S$.
  • Cela généralise les résultats de Kontsevich-Tschinkel au cadre analytique et aux familles singulières.
• Corollaire 7.16 (Isotrivialité forte) : Si une famille localement Moishezon universellement normale a un nombre non dénombrable de fibres bimeromorphes à une variété projective fixe, alors la famille est localement fortement bimeromorphiquement isotrope (elle devient triviale après un changement de base).

C. Connexions Théoriques

Le papier établit une chaîne de implications fondamentale reliant quatre sujets classiques de la géométrie bimeromorphe :
$$\text{Comportement des plurigenres} \implies \text{Bimeromorphie fibre par fibre} \implies \text{Spécialisation d'une structure bimeromorphe fixe} \iff \text{Spécialisation des types bimeromorphes}$$

4. Signification et Impact

1. Extension au cadre analytique : Ce travail comble un vide important en fournissant des outils pour étudier la spécialisation des types birationnels/bimeromorphes sans recourir à la structure de schéma, ce qui est crucial pour la géométrie complexe.
2. Gestion des singularités : Contrairement aux travaux antérieurs limités aux familles lisses, ce papier traite des familles dont les fibres ont des singularités canoniques et dont les espaces totaux peuvent être singuliers, élargissant considérablement le champ d'application.
3. Rigidité et Isotrivialité : Les résultats fournissent des critères puissants pour la rigidité des structures bimeromorphes et l'isotrivialité, des questions centrales en géométrie des variétés complexes.
4. Lien avec la conjecture de Kollár : Les auteurs proposent une approche pour aborder la conjecture de Kollár sur l'existence de modèles projectifs fibre par fibre pour les morphismes Moishezon, en suggérant que leurs résultats sur la bimeromorphie fibre par fibre constituent l'étape clé pour prouver que l'application globale est bien une équivalence fibre par fibre.
5. Limites identifiées : Le papier clarifie également les limites de ces méthodes, montrant qu'elles ne s'appliquent pas aux familles de dimension de Kodaira $-\infty$ (comme les variétés rationnelles générales), où la spécialisation peut échouer même dans des cas lisses.

En résumé, ce papier fournit un cadre théorique robuste et des critères techniques précis pour comprendre comment les structures bimeromorphes se comportent sous déformation dans le monde complexe analytique, en particulier pour les familles singulières de type Moishezon.