Liouville function, von Mangoldt function and norm forms at random binary forms

Résumé Technique : Fonction de Liouville, fonction de von Mangoldt et formes de norme sur les formes binaires aléatoires

Énoncé du Problème
Cet article étudie le comportement moyen de fonctions arithmétiques évaluées aux valeurs de formes binaires aléatoires de degré $d$. Il traite spécifiquement de trois problèmes interconnectés :

1. La Conjecture de Chowla : Analyser l'annulation de la fonction de Liouville $\lambda(n)$ sur les valeurs de formes binaires.
2. La Conjecture de Bateman–Horn : Établir des formules asymptotiques pour les valeurs premières simultanées de tuples de formes binaires, en utilisant la fonction de von Mangoldt $\Lambda(n)$.
3. Le Principe de Hasse : Déterminer la proportion de variétés de Châtelet définies par des formes de norme qui satisfont le principe de Hasse rationnel.

Alors que des travaux antérieurs par Browning, Sofos et Teräväinen [5] ont établi des résultats analogues pour des polynômes aléatoires d'une variable, cet article étend le cadre aux formes binaires de deux variables. Le défi central consiste à démontrer que « presque toutes » les formes binaires (dans un sens combinatoire) présentent le comportement statistique attendu prédit par ces conjectures, malgré la complexité accrue de la géométrie et de l'arithmétique sous-jacentes.

Méthodologie
L'article emploie une approche de théorie analytique et probabiliste du nombre, centrée sur le concept de cubes combinatoires. Un cube combinatoire $C$ est défini comme un sous-ensemble de vecteurs de coefficients $(c_0, \dots, c_d) \in \mathbb{Z}^{d+1}$ où certains coefficients sont fixés et d'autres varient dans un intervalle $[-H, H]$. L'objectif est de montrer que pour un ensemble de coefficients $C$ de côté $H$, les « mauvaises » formes (celles échouant aux conjectures) constituent une proportion négligeable, spécifiquement $O((\log H)^{-A})$.

La machinerie technique centrale implique :

• L'équidistribution dans les progressions arithmétiques : L'article généralise un outil clé de [5] (Théorème 2.1), qui lie l'équidistribution d'une fonction arithmétique dans les progressions arithmétiques à son comportement moyen sur des polynômes aléatoires. Celui-ci est adapté aux formes binaires en contrôlant les sommes de la forme $\sum F(am^k n^{d-k} + bm^l n^{d-l} + g(m,n))$.
• La Théorie du Tamis et le Comptage Localisé : Pour les problèmes de formes de norme, l'auteur introduit une fonction de comptage localisée $\hat{N}_c(x)$. Cette fonction approxime le compte global des solutions entières de $N_K(x) = g_c(u)$ en restreignant la recherche à une région spécifique $B$ et en incorporant des densités locales (séries singulières) et des densités archimédiennes.
• Approximation et Analyse d'Erreur : La stratégie de preuve consiste à montrer que la fonction de comptage globale $N_c(x)$ est bien approximée par $\hat{N}_c(x)$. Cela nécessite de borner le terme d'erreur $|N_c(x) - \hat{N}_c(x)|$ et de démontrer que la fonction localisée $\hat{N}_c(x)$ est rarement petite (c'est-à-dire qu'elle est suffisamment grande pour garantir l'existence de solutions).
• Contraintes Géométriques et Algébriques : L'analyse distingue les formes « séparables » des formes possédant des zéros entiers ou un contenu élevé. Des lemmes sont fournis pour montrer que les formes échouant à ces conditions d'« admissibilité » sont rares. La preuve utilise également les propriétés de la fonction zêta de Dedekind et les densités locales sur les corps $p$-adiques.

Contributions Clés et Résultats

1. Conjecture de Chowla Moyenne pour les Formes Binaires (Théorème 1.2) :
   L'article prouve que pour presque toutes les formes binaires $g \in \mathbb{Z}[s, t]$ de degré $d$ avec des coefficients dans un cube combinatoire, la somme de la fonction de Liouville sur les valeurs de la forme présente une annulation. Plus précisément, pour $x \in [H^c, 2H^c]$,
   $$\sup_{x} \frac{1}{x^2} \left| \sum_{u,v \leq x} \lambda(g(u,v)) \right| \leq (\log H)^{-A}$$
   est vérifié pour toutes les formes, sauf une fraction négligeable.

2. Conjecture de Bateman–Horn Moyenne pour les Formes Binaires (Théorème 1.3) :
   L'auteur établit une formule asymptotique pour le nombre de valeurs premières simultanées d'un $r$-uplet de formes binaires. Ils montrent que pour presque tous les $r$-uplets, la somme des produits de fonctions de von Mangoldt satisfait :
   $$\sum_{m,n \leq x} \Lambda(g_1(m,n)) \cdots \Lambda(g_r(m,n)) \sim x^2 S_{g_1, \dots, g_r}(x)$$
   où $S$ est le produit des densités locales. Cela est vrai uniformément pour $x$ dans l'intervalle spécifié.

3. Principe de Hasse Rationnel pour les Variétés de Châtelet (Théorème 1.5) :
   L'article prouve que pour une forme de norme $N_K$ fixée de degré $e$ et une forme binaire $g$ variable de degré $d$ (où $e|d$), la variété de Châtelet associée $N_K(x) = g(u)$ satisfait le principe de Hasse rationnel pour 100 % des vecteurs de coefficients.
   $$\frac{\#S_{glob}(H)}{\#S_{loc}(H)} = 1 + O((\log H)^{-A})$$
   Ici, $S_{loc}(H)$ représente les formes localement solubles partout, et $S_{glob}(H)$ représente celles possédant un point rationnel. Le résultat implique que l'obstruction de Brauer–Manin est la seule obstruction pour la plupart de ces variétés.

Signification et Revendications
L'article affirme étendre la méthodologie « moyenne » de Browning, Sofos et Teräväinen [5] des polynômes univariés aux formes binaires, une étape significative étant donné la dimensionnalité plus élevée et les propriétés arithmétiques différentes des formes binaires.

• Résolution de la Conjecture de Colliot-Thélène (Cas Moyen) : Le travail fournit une version moyenne d'une conjecture de Colliot-Thélène concernant le principe de Hasse pour les variétés de Châtelet. Alors que des résultats antérieurs couvraient des cas spécifiques (par exemple, des polynômes linéaires ou des degrés spécifiques), cet article prouve que le principe tient pour 100 % des équations de forme de norme du type considéré, à condition que le degré de la norme divise le degré de la forme binaire.
• Précision Quantitative : Les résultats sont quantitatifs, fournissant des termes d'erreur explicites de l'ordre de $(\log H)^{-A}$, ce qui permet une définition rigoureuse de « presque tous » dans le contexte des formes binaires ordonnées par hauteur.
• Avancée Méthodologique : L'auteur introduit une fonction de comptage localisée raffinée et une analyse détaillée des densités archimédiennes et non archimédiennes pour traiter les équations de forme de norme, surmontant l'absence d'homogénéité dans les équations de variétés de Châtelet.

L'auteur déclare explicitement que ses résultats prouvent le principe de Hasse rationnel pour 100 % des équations de forme de norme considérées, un résultat plus fort que le principe de Hasse intégral précédemment établi pour les polynômes dans [5], qui ne garantissait pas le cas rationnel avec une probabilité de 1 en raison de la non-homogénéité. L'article ne prétend pas résoudre les conjectures pour chaque forme individuelle, mais plutôt établir leur validité dans la limite statistique sur l'espace des coefficients.