Liftings of ideals in positive characteristic to those in characteristic zero:Surface case

1. Problématique et Contexte

L'objectif principal de cet article est de comparer les invariants de singularités des paires formées d'une variété lisse et d'un « multi-idéal » (un produit d'idéaux avec des exposants réels) dans deux contextes distincts :

• Caractéristique positive ($p > 0$) : Sur un corps algébriquement clos $k$.
• Caractéristique zéro ($p = 0$) : Sur le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$.

Les invariants étudiés sont :

• Les discrepances logarithmiques ($a(E; A, \mathfrak{a}^{\mathbf{e}})$).
• Les discrepances logarithmiques minimales (mld).
• Les seuils log canoniques (lct).

Bien que ces invariants soient bien compris en caractéristique zéro, leur comportement en caractéristique positive pose des défis, notamment concernant la discrétion des ensembles de valeurs et l'existence de diviseurs calculant ces invariants. L'auteur note que des contre-exemples existent en dimension supérieure ou égale à 3 (dus à Kollár), limitant la portée de son résultat principal à la dimension 2 (surfaces).

2. Méthodologie : La Méthode des « Squelettes »

Le cœur de la contribution méthodologique est l'introduction d'une technique de « relèvement » (lifting) via des squelettes (skeletons).

• Définition d'un squelette : Soit $R$ une $k$-algèbre de type fini (en caractéristique $p$). Un sous-anneau $S \subset R$ est un squelette si $S$ est une $\mathbb{Z}/(p)$-algèbre de type fini telle que $k[S] = R$.
• Squelettes compatibles : Pour passer à la caractéristique zéro, on construit un anneau $\tilde{S}$ sur $\mathbb{Z}$ (ou $\mathbb{C}$) qui est plat sur $\mathbb{Z}$ en $p$, tel que $\tilde{S} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(p) \cong S$. On dit alors que $\tilde{S}$ est un relèvement de $S$.
• Relèvement des idéaux et des morphismes : L'article montre comment relever les idéaux et, surtout, les suites d'éclatements de points fermés. Si l'on a une suite d'éclatements de points sur une surface affine en caractéristique $p$, on peut construire une suite correspondante sur une surface complexe telle que :
  1. Les variétés réduites modulo $p$ coïncident.
  2. Les centres des éclatements et les relations d'incidence (quels points sont sur quelles diviseurs exceptionnels) sont préservés.
  3. Les coefficients de la formule de la différence canonique (discrepancy) sont identiques.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Théorème de Relèvement)

Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p > 0$. Pour toute suite d'éclatements de points fermés $A_n \to \dots \to A_0 = \mathbb{A}^2_k$ dominants l'origine, il existe une suite correspondante sur $\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ :
$$\tilde{A}_n \xrightarrow{\tilde{\phi}_n} \dots \xrightarrow{\tilde{\phi}_1} \tilde{A}_0 = \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$$
satisfaisant :

• $\tilde{A}_i \pmod p = A_i$.
• Les diviseurs exceptionnels $\tilde{E}_i$ sont des relèvements premiers des $E_i$.
• Les coefficients de discrepancy sont égaux : $k_{\tilde{E}_i} = k_{E_i}$.
• Point crucial en dimension 2 : Pour tout polynôme $f \in k[x_1, x_2]$, il existe un relèvement $\tilde{f} \in \mathbb{C}[x_1, x_2]$ tel que les ordres de vanishing soient préservés : $v_{E_i}(f) = v_{\tilde{E}_i}(\tilde{f})$.

Note : L'auteur mentionne que la propriété de préservation exacte des ordres de vanishing pour $N \ge 3$ est fausse (contre-exemple de Kollár), ce qui justifie la restriction à la dimension 2.

Corollaire 1.2 (Relèvement des invariants)

Il existe un relèvement d'un diviseur premier $E$ au-dessus d'une surface lisse et d'un multi-idéal $\mathfrak{a}$ vers le cas complexe $\tilde{E}$ et $\tilde{\mathfrak{a}}$ tel que :

• Les corps résiduels sont isomorphes ($k_E = k_{\tilde{E}}$).
• Les ordres de vanishing sont préservés ($v_E(\mathfrak{a}) = v_{\tilde{E}}(\tilde{\mathfrak{a}})$).
• Conséquence directe : La discrepancy logarithmique est préservée : $a(E; A, \mathfrak{a}^{\mathbf{e}}) = a(\tilde{E}; \tilde{A}, \tilde{\mathfrak{a}}^{\mathbf{e}})$.

4. Applications et Conséquences

Grâce à ce théorème de relèvement, l'auteur établit plusieurs résultats fondamentaux pour les surfaces en caractéristique positive :

1. Discrétion de l'ensemble des discrepancies (Corollaire 1.3) :
   Pour une surface lisse $A$ sur $k$ et un exposant fixé $\mathbf{e}$, l'ensemble des discrepancies logarithmiques $a(E; A, \mathfrak{a}^{\mathbf{e}})$ pour les paires log canoniques est un ensemble fini. Cela prouve la discrétion de ces invariants en caractéristique positive pour les surfaces, un résultat qui était déjà connu en caractéristique zéro.

2. Inclusion des invariants (Corollaire 1.4) :
   L'article démontre que les ensembles de mld et de lct en caractéristique positive sont contenus dans les ensembles correspondants en caractéristique zéro :
   $$\{ \text{mld}(0; A, \mathfrak{a}^{\mathbf{e}}) \mid A/k \} \subset \{ \text{mld}(0; \tilde{A}, \tilde{\mathfrak{a}}^{\mathbf{e}}) \mid \tilde{A}/\mathbb{C} \}$$
   $$\{ \text{lct}(0; A, \mathfrak{a}^{\mathbf{e}}) \mid A/k \} \subset \{ \text{lct}(0; \tilde{A}, \tilde{\mathfrak{a}}^{\mathbf{e}}) \mid \tilde{A}/\mathbb{C} \}$$
   Ces inclusions étaient déjà connues via des méthodes toriques (réf [7]), mais l'article fournit une nouvelle preuve géométrique indépendante, basée sur la théorie des éclatements et des squelettes.

3. Modèle complexe de Campillo (Corollaire 1.5) :
   L'article offre une construction explicite du modèle complexe d'une singularité de courbe plane en caractéristique positive. Il montre qu'il existe une courbe complexe $\tilde{C}$ dont le type d'équisingularité (résolution par éclatements successifs de points) est identique à celui de la courbe originale $C$ en caractéristique $p$. Cela confirme et reconstruit un résultat antérieur de Campillo via la méthode de relèvement.

5. Signification et Impact

• Pont entre les caractéristiques : L'article établit un lien rigoureux entre la géométrie algébrique en caractéristique $p$ et en caractéristique 0 pour les surfaces, permettant de transférer des propriétés de discrétion et d'existence de diviseurs optimaux.
• Limites dimensionnelles : L'article met en lumière la spécificité de la dimension 2. La présence de contre-exemples en dimension 3 (Kollár) indique que la structure des singularités est plus complexe en haute dimension en caractéristique positive, empêchant un relèvement simple des ordres de vanishing.
• Outils nouveaux : La notion de « squelette » et la méthode de relèvement des suites d'éclatements constituent un outil technique puissant pour étudier les singularités sans recourir uniquement aux méthodes toriques ou aux jet schemes, bien que ces derniers soient utilisés pour les formules de calcul (mld, lct).

En résumé, Shihoko Ishii démontre que, pour les surfaces, la théorie des singularités en caractéristique positive est « contrôlée » par celle de la caractéristique zéro via une construction géométrique précise, garantissant la discrétion des invariants clés et l'existence de modèles complexes équivalents.