Generic vanishing on homogeneous spaces in arbitrary characteristic

Résumé technique : Annulation générique sur les espaces homogènes en caractéristique arbitraire

Énoncé du problème
L'article aborde le problème de l'établissement d'un théorème d'« annulation générique » pour l'intersection de sous-variétés affines lisses localement fermées au sein d'un espace homogène propre $X$, sur lequel agit un groupe algébrique connexe $G$. Plus précisément, les auteurs cherchent à prouver que pour un translate générique $gW$ d'une sous-variété $W$ par un élément $g \in G$, l'intersection $gW \cap Z$ satisfait une inégalité de signe spécifique concernant sa caractéristique d'Euler.

Alors que Schürmann–Simpson–Wang [SSW25] ont démontré ce résultat en caractéristique nulle, les auteurs visent à étendre ce théorème à un corps algébriquement clos arbitraire, incluant la caractéristique positive. Le défi central réside dans l'adaptation des arguments géométriques et cohomologiques utilisés en caractéristique nulle à des contextes où les outils standards (tels que la théorie de Hodge ou certains théorèmes d'annulation dépendant de la caractéristique nulle) ne peuvent pas s'appliquer directement.

Méthodologie
Les auteurs emploient le cadre des faisceaux constructibles $\ell$-adiques et la théorie des faisceaux pervers. Leur approche repose sur les étapes méthodologiques clés suivantes :

1. Correspondance de Radon : Au lieu de considérer la famille d'intersections comme une simple famille paramétrée, les auteurs modélisent la situation comme une correspondance de Radon sur le groupe $G$. Ils définissent un foncteur transforme de Radon $R_W! : D^b_c(X) \to D^b_c(G)$ associé à la correspondance d'incidence $\Gamma_W \subset G \times X$.
2. Changement de base et formule de Künneth : Une observation technique cruciale est qu'après un tiré en arrière lisse le long d'une application d'orbite $\mu_x: G \to X$, la correspondance universelle devient un produit. Cette réduction permet aux auteurs d'utiliser la formule de Künneth, qui vaut sans condition dans la catégorie dérivée des faisceaux constructibles à dimension torique finie ($D^b_c$).
3. Exactitude $t$ : Les auteurs prouvent que la composition de la transformée de Radon avec l'image directe d'un morphisme $f: Z \to X$ est $t$-exacte par rapport à la structure $t$ perverse. Cela est obtenu en analysant les propriétés des morphismes impliqués (lissité, affinité, quasi-finitude) et en appliquant l'annulation d'Artin et les théorèmes standards de changement de base.
4. Bornes de support : En établissant l'exactitude $t$, ils déduisent des bornes de support pour le faisceau pervers résultant sur $G$. Ces bornes impliquent que les groupes de cohomologie des intersections s'annulent génériquement en dehors d'un degré spécifique.
5. Descente arithmétique : Pour le cas où le corps de base est la clôture algébrique d'un corps fini $\mathbb{F}_q$, les auteurs descendent les résultats géométriques au niveau du corps fini. Ils utilisent le théorème de changement de base générique de Deligne et l'estimation de Lang–Weil pour analyser les fonctions de trace et la taille du lieu « mauvais » (où l'annulation générique échoue).

Contributions et résultats clés

• Théorème principal (Annulation générique) : L'article prouve que pour un faisceau pervers $K$ sur une sous-variété $Z$, il existe un ouvert dense $U \subset G$ tel que pour tout $g \in U(k)$, les groupes de cohomologie à support compact $H^i_c(gW, g f_Z^* g \phi_Z^* K)$ s'annulent pour $i \neq \dim W - \dim X$.
• Inégalité de signe : En conséquence, les auteurs établissent l'inégalité de signe :
  $$(-1)^{\dim X - \dim W + \dim Z} \chi(gW \cap Z) \geq 0$$
  pour $g \in G$ générique, où $\chi$ désigne la caractéristique d'Euler. Ce résultat vaut sur tout corps algébriquement clos, étendant le résultat en caractéristique nulle de Schürmann–Simpson–Wang.
• Résolution de conjectures : Le résultat confirme la conjecture de signe de Kumar pour les intersections triples de cellules de Schubert en caractéristique arbitraire, une conjecture précédemment connue en caractéristique nulle uniquement dans des cas spécifiques ou dans toute sa généralité via [SSW25].
• Conséquences arithmétiques :
  • Identité de fonction de trace : Sur les corps finis, la fonction de trace de la transformée de Radon sur un ouvert dense de $G$ est identifiée à la trace de Frobenius sur un seul groupe de cohomologie du milieu.
  • Estimations de Lang–Weil : L'article fournit une estimation du nombre de points dans le lieu non générique (le complémentaire de l'ouvert dense), montrant qu'il est borné par $O(q^{n(\dim G - 1)})$.
  • Bornes de Weil : Sous des hypothèses supplémentaires (spécifiquement, que le faisceau n'a pas de contribution à l'infini), les auteurs déduisent une borne de Weil pour les « sommes exponentielles » résultantes sur les intersections.

Signification et affirmations
Les auteurs positionnent ce travail comme une extension naturelle de la tradition de l'annulation générique, qui a historiquement traité des familles de caractères ou de systèmes locaux sur des supports fixes (par exemple, Green–Lazarsfeld, Gabber–Loeser, Schnell, Weissauer). En revanche, cet article traite d'un faisceau fixe dont le support varie par translation.

L'article revendique une importance dans deux domaines principaux :

1. Indépendance de la caractéristique : Il lève la restriction à la caractéristique nulle pour les théorèmes d'annulation générique sur les espaces homogènes, en utilisant la robustesse de la transformée de Radon et de la théorie des faisceaux pervers en caractéristique arbitraire.
2. Applications arithmétiques : Il démontre que le théorème d'exactitude $t$ géométrique produit des conséquences arithmétiques concrètes, notamment des identités de trace précises et des bornes sur les sommes exponentielles sur les corps finis, sans exiger que les données soient définies sur la caractéristique nulle.

Les auteurs restent modestes quant à la portée, notant que les méthodes reposent sur la structure spécifique des espaces homogènes et la lissité des applications d'orbite, et qu'ils ne proposent pas de nouvelles applications expérimentales ou de directions futures au-delà des raffinements arithmétiques immédiats discutés dans la section 4.