Résumé technique : 0-cycles sur les surfaces quasi-projectives sur les corps p-adiques

1. Énoncé du problème et contexte

L'article aborde la structure du groupe de Chow des 0-cycles, $CH_0(X)$, pour les variétés projectives lisses $X$ définies sur une extension finie $k$ du corps p-adique $\mathbb{Q}_p$. Un objet central d'étude est la filtration de $CH_0(X)$ :
$$0 \subseteq F^2(X) \subseteq F^1(X) \subseteq CH_0(X)$$
où $F^1(X)$ est le noyau de l'application degré, et $F^2(X)$ est le noyau de l'application d'Albanese $alb_X: F^1(X) \to Alb_X(k)$.

Les auteurs se concentrent sur la Conjecture de Colliot-Thélène (Conjecture 1.1), qui prédit que pour de telles variétés, le groupe $F^2(X)$ se décompose comme une somme directe d'un groupe fini et d'un groupe divisible :
$$F^2(X) \cong F \oplus D$$
Bien que cette conjecture soit connue pour les courbes (où l'application d'Albanese est un isomorphisme) et pour des cas spécifiques de produits de courbes ou de surfaces de Kummer, elle reste ouverte pour les surfaces générales. Des résultats antérieurs de Raskind et Spiess ([RS00]) et de Saito et Sato ([SS10]) ont établi des résultats partiels, notamment concernant les propriétés de torsion de $F^1(X)$ et $F^2(X)$ pour les produits de courbes avec des types de réduction spécifiques.

L'article examine également l'analogue quasi-projectif de ce problème. Pour une sous-variété ouverte $U \subset X$, les auteurs remplacent $CH_0(X)$ par l'homologie singulière de Suslin $H^{sus}_0(U)$ et considèrent le noyau $F^2(U)$ de l'application d'Albanese généralisée $alb_U: F^1(U) \to Alb_U(k)$, où $Alb_U$ est une variété semi-abélienne.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche multifacette combinant la cohomologie motivique, la théorie du corps de classes et la théorie des groupes algébriques :

• Cohomologie motivique et homologie de Suslin : Les auteurs utilisent l'identification de l'homologie de Suslin $H^{sus}_0(U)$ avec les groupes de cohomologie motivique $H^{2d}_{M,c}(U, \mathbb{Z}(d))$ (Théorème 2.8). Cela leur permet d'utiliser l'outillage des complexes motiviques et le formalisme des six foncteurs.
• Théorie du corps de classes pour les courbes : Un composant crucial est l'application de la théorie du corps de classes pour les courbes sur les corps p-adiques développée par Bloch ([Blo81]) et Saito ([Sai85]). Plus précisément, ils analysent la structure du groupe $SK_1(C)$ (identifié à $CH_2(C,1)$) et sa relation avec le groupe fondamental étale abélien et le module de Tate de la jacobienne.
• Variétés d'Albanese généralisées : L'article construit et analyse la variété d'Albanese généralisée $Alb_U$ pour les sous-variétés ouvertes $U = X - D$, où $D$ est un diviseur. Cette variété est une extension de la variété d'Albanese standard $Alb_X$ par un tore $T$. Les auteurs étudient la relation entre la partie torique de $Alb_U$ et la structure de $SK_1(D)$ pour le diviseur $D$.
• Cycles décomposables : Pour traiter la « pièce torique » de l'application d'Albanese généralisée, les auteurs utilisent des cycles décomposables $(2,1)$. Ils montrent que l'image de l'application du groupe de Neron-Severi tensorisé par $k^\times$ vers $SK_1(D)$ est suffisante pour annihiler les composantes toriques problématiques dans le noyau de l'application.

3. Contributions et résultats clés

A. Équivalence des conjectures projectives et quasi-projectives

Le résultat technique central est le Théorème 4.5, qui établit une équivalence entre la finitude de la partie non divisible de $F^2$ pour une surface projective et sa sous-variété ouverte.

• Théorème 4.5 : Soit $X$ une surface projective lisse et $U$ une sous-variété ouverte dense avec complément $D$ (soit de dimension 0, soit un diviseur à croisements normaux simples). Alors $F^2(X_L)/F^2(X_L)_{div}$ est fini pour toutes les extensions finies $L/k$ si et seulement si $F^2(U_L)/F^2(U_L)_{div}$ est fini pour toutes les $L/k$.
• Corollaire 4.9 : Par conséquent, la Conjecture de Colliot-Thélène (1.1) vaut pour toutes les surfaces projectives lisses si et seulement si son analogue quasi-projectif (Conjecture 4.8) vaut pour toutes les surfaces quasi-projectives lisses.

B. Transfert des conjectures via des applications rationnelles

S'appuyant sur l'équivalence ci-dessus, les auteurs prouvent le Théorème 1.2 (restitué comme Théorème 5.2) :

• S'il existe une application rationnelle génériquement finie $\pi: X \dashrightarrow Y$ entre surfaces projectives lisses, et si la conjecture vaut pour $X$ (et ses extensions finies), alors elle vaut pour $Y$.
• Ce résultat généralise les arguments de poussée-forward précédemment utilisés pour les surfaces de Kummer à une classe plus large de surfaces, à condition de pouvoir travailler avec des sous-variétés ouvertes pour éviter les singularités dans la résolution de l'application.

C. Vérification pour de nouvelles classes de surfaces

En utilisant le théorème de transfert et les résultats connus pour les produits de courbes (Raskind-Spiess), les auteurs vérifient la Conjecture 1.1 pour plusieurs nouvelles classes de surfaces (Corollaire 1.3 et section 5.2) :

1. Surfaces géométriquement dominées : Toute surface projective lisse $X$ qui est géométriquement dominée par un produit de courbes $C_1 \times C_2$, à condition que les jacobiennes de $C_1$ et $C_2$ aient un mélange de réduction ordinaire bonne et multiplicative déployée.
2. Fibrations isotriviales : Cela inclut les surfaces elliptiques isotriviales et une large classe de surfaces K3 admettant des automorphismes non symplectiques (qui sont souvent des résolutions de quotients de produits de courbes).
3. Carrés symétriques : Le carré symétrique $Sym^2(C)$ d'une courbe de genre 2 $C$ (et la surface abélienne associée $J_C$) sous les hypothèses de réduction.
4. Surfaces de Fermat : Hypersurfaces diagonales $X_m \subset \mathbb{P}^3$ de degré $m \ge 4$, spécifiquement lorsque $p \equiv 1 \pmod m$.
5. Surfaces produit-quotient : Surfaces issues de résolutions de $(C_1 \times C_2)/G$ pour des groupes finis $G$, s'étendant au-delà du cas spécifique de Kummer précédemment connu.

D. Structure de l'homologie de Suslin pour les variétés ouvertes

L'article fournit une analyse structurelle détaillée de $F^2(U)$ pour les sous-variétés ouvertes :

• Comparaison avec $F^2(X)$ : Lorsque $X-U$ est de dimension 0, $F^2(U) \cong F^2(X)$. Cependant, lorsque $X-U$ est un diviseur, $F^2(U)$ peut être significativement plus grand.
• Contributions toriques : Les auteurs montrent que la différence entre $F^2(U)$ et $F^2(X)$ est régie par la partie torique de la variété d'Albanese généralisée.
• Exemples :
  • Pour $U = \mathbb{G}_m \times \mathbb{G}_m$, $F^2(U) \cong K_2^M(k)$, qui contient un groupe divisible non dénombrable.
  • Pour $U = C \times \mathbb{G}_m$, $F^2(U) \cong V(C)$, qui peut avoir une torsion infinie si $C$ est une courbe de Mumford.
  • Proposition 5.17 : Dans des contextes géométriques spécifiques (par exemple, $U = X - s(C)$ où $s$ est une section d'une fibration), l'égalité $F^2(U) = F^2(X)$ peut être récupérée, impliquant la finitude même pour les variétés ouvertes.

4. Signification et affirmations

Les auteurs affirment que leur travail fournit de « nouvelles preuves » pour la Conjecture de Colliot-Thélène en élargissant considérablement les classes connues de surfaces pour lesquelles la conjecture vaut.

• Changement méthodologique : L'article met en évidence un passage du recours exclusif à des arguments de « poussée-forward simple » (qui fonctionnent pour les surfaces de Kummer en raison de résolutions simples) à une méthode plus robuste impliquant des sous-variétés ouvertes et l'homologie de Suslin. Cela permet aux auteurs de traiter des singularités et des quotients plus complexes (par exemple, les surfaces produit-quotient générales).
• Unification : En prouvant l'équivalence entre les cas projectif et quasi-projectif (Théorème 4.5), les auteurs unifient l'étude des 0-cycles sur ces différents types de variétés, suggérant que la validité de la conjecture est une propriété géométrique préservée par les immersions ouvertes et les applications rationnelles dominantes.
• Limites : Les auteurs notent modestement que leurs résultats dépendent encore d'hypothèses concernant le type de réduction des jacobiennes (spécifiquement, un mélange de réduction ordinaire bonne et multiplicative déployée). Ils reconnaissent que lever cette hypothèse (par exemple, pour inclure la réduction supersingulière) reste un problème ouvert subtil et difficile, citant la difficulté même dans le cas des produits de courbes elliptiques supersingulières.

En résumé, l'article établit un pont entre l'arithmétique des 0-cycles sur les surfaces projectives et leurs contreparties ouvertes, exploitant ce lien pour prouver la conjecture de Colliot-Thélène pour une collection large et diversifiée de surfaces dominées par des produits de courbes.