Critical exponent for semilinear damped wave equations with weighted nonlinear terms and data from Sobolev spaces of negative order

Résumé Technique : Exposant critique pour les équations d'ondes amorties semi-linéaires avec termes non linéaires pondérés et données issues d'espaces de Sobolev d'ordre négatif

Énoncé du Problème
Cet article étudie le problème de Cauchy pour les équations d'ondes amorties semi-linéaires présentant des termes non linéaires pondérés avec des singularités de type Coulomb et des données initiales appartenant à des espaces de Sobolev d'ordre négatif. L'équation spécifique considérée est :
$$\begin{cases} u_{tt}(t, x) - \Delta u(t, x) + u_t(t, x) = |x|^{-\alpha}|u(t, x)|^p, & x \in \mathbb{R}^n, t > 0, \\ u(0, x) = \varepsilon u_0(x), \quad u_t(0, x) = \varepsilon u_1(x), & x \in \mathbb{R}^n, \end{cases}$$
où $p > 1$, $\alpha \geq 0$, et les données initiales $(u_0, u_1)$ appartiennent au produit d'espaces $\dot{H}^{-\beta}(\mathbb{R}^n) \times \dot{H}^{-\beta}(\mathbb{R}^n)$ avec $\beta \geq 0$. Le paramètre $\varepsilon > 0$ représente la taille des données initiales. Les auteurs visent à déterminer l'exposant critique $p_c(\alpha, \beta, n)$ qui sépare l'existence globale de solutions pour petites données de l'explosion en temps fini de solutions faibles, et à dériver des estimations de la durée de vie dans le cas sous-critique.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'estimations de décroissance linéaire, d'arguments de point fixe et de méthodes de fonctions tests.

1. Estimations de Décroissance Linéaire : L'analyse commence par l'équation d'onde amortie linéaire. Les auteurs utilisent la transformée de Fourier pour dériver des estimations de décroissance $L^m-L^q$ précises pour les noyaux linéaires $K(t, x)$ et leurs dérivées temporelles. Ces estimations font le pont entre la structure diffusive de l'équation d'onde amortie et l'équation de la chaleur, montrant que les solutions décroissent de manière similaire aux solutions de l'équation de la chaleur lorsque $t \to \infty$.
2. Existence Globale (Petites Données) : Pour le résultat d'existence globale, les auteurs définissent un espace de fonctions approprié $X(T)$ équipé de normes pondérées en temps impliquant les taux de décroissance dérivés de la théorie linéaire. Ils construisent une application de solution $\Phi$ en utilisant le principe de Duhamel et appliquent le théorème du point fixe de Banach.
   • Pour traiter la singularité $|x|^{-\alpha}$ dans la non-linéarité, les auteurs utilisent l'inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (Proposition 2.2) afin de contrôler le taux de décroissance du terme pondéré.
   • L'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev est utilisée pour gérer les espaces de Sobolev d'ordre négatif.
   • La preuve repose sur l'établissement des propriétés de contraction de l'opérateur $\Phi$ sous des conditions spécifiques sur $p$, $\alpha$, et $\beta$.
3. Résultat d'Explosion : Pour la non-existence de solutions globales, les auteurs utilisent la méthode de la fonction test. Ils construisent une fonction test spécifique $\Phi_R(t, x)$ impliquant une fonction de coupure en temps et un poids spatial lié à la singularité. En intégrant la formulation faible contre cette fonction test et en appliquant l'inégalité de Hölder, ils dérivent une contradiction pour de grandes valeurs de $R$ lorsque $p$ est en dessous du seuil critique.
4. Estimations de la Durée de Vie : Dans le cas sous-critique ($1 < p < p_c$), les auteurs dérivent des limites inférieures et supérieures pour la durée de vie $T_{\alpha, \beta}(\varepsilon)$. La limite inférieure est obtenue en analysant la condition de contraction dans l'argument du point fixe, tandis que la limite supérieure est affinée en utilisant la méthode de la fonction test avec des corrections logarithmiques.

Contributions Clés et Résultats

• Détermination de l'Exposant Critique : Le résultat principal est l'identification de l'exposant critique pour l'équation d'onde amortie pondérée avec des données d'ordre négatif :
  $$p_c(\alpha, \beta, n) := 1 + \frac{4 - 2\alpha}{n + 2\beta}$$
  Cette formule est valable pour les dimensions $1 \leq n \leq 4$ et les paramètres $0 \leq \alpha, \beta < n/2$. Les auteurs démontrent que le poids $|x|^{-\alpha}$ et l'ordre négatif $\beta$ déplacent tous deux l'exposant critique vers la gauche par rapport à l'exposant de Fujita standard ($1 + 2/n$) ou au cas où $\alpha=0$.

• Théorème d'Existence Globale (Théorème 1.1) : Pour $p \geq p_c(\alpha, \beta, n)$, les auteurs prouvent l'existence d'une solution globale unique pour des données initiales $\varepsilon$ suffisamment petites. La solution appartient à $C([0, \infty), H^1)$ et satisfait des estimations de décroissance temporelle spécifiques :
  $$\|u(t, \cdot)\|_{L^2} \lesssim \varepsilon (1+t)^{-\frac{\beta}{2}}, \quad \|\nabla u(t, \cdot)\|_{L^2} \lesssim \varepsilon (1+t)^{-\frac{1+\beta}{2}}.$$
  Des contraintes supplémentaires sur $p$ sont fournies pour les dimensions $n=3, 4$ afin d'assurer la validité des injections de Sobolev et des inégalités utilisées.

• Théorème d'Explosion (Théorème 1.2) : Pour $1 < p < p_c(\alpha, \beta, n)$, les auteurs prouvent qu'aucune solution faible globale n'existe, même pour de petites données, à condition que les données initiales satisfassent une condition de borne inférieure spécifique impliquant une décroissance logarithmique.

• Estimations de la Durée de Vie : Dans le régime sous-critique, la durée de vie $T_{\alpha, \beta}(\varepsilon)$ est estimée par :
  $$\varepsilon^{-\frac{4(p-1)}{4 - 2\alpha - (n+2\beta)(p-1)}} \lesssim T_{\alpha, \beta}(\varepsilon) \lesssim \varepsilon^{-\frac{4(p-1)}{4 - 2\alpha - (n+2\beta)(p-1)}} (\log(\varepsilon^{-1}))^{\frac{4(p-1)}{4 - 2\alpha - (n+2\beta)(p-1)}}.$$
  Les auteurs notent que la présence du poids $|x|^{-\alpha}$ contribue à augmenter la durée de vie des solutions en explosion par rapport au cas non pondéré.

• Corollaires pour les Données basées sur $L^m$ : Les auteurs étendent leurs résultats aux données initiales dans $\dot{H}^{-\bar{\beta}}_m \times \dot{H}^{-\bar{\beta}}_m$ pour $m \in (1, 2]$, en dérivant un exposant critique correspondant $p_c(\alpha, \bar{\beta} + \theta(m), n)$.

Signification et Revendications
L'article affirme étendre les résultats précédents sur les équations d'ondes amorties semi-linéaires en incorporant simultanément deux généralisations :

1. Non-linéarité Pondérée : Traiter la singularité de type Coulomb $|x|^{-\alpha}$, qui a été étudiée de manière isolée (par exemple dans [26] pour $\beta=0$) mais pas combinée avec des données d'ordre négatif dans ce cadre spécifique.
2. Données d'Ordre Négatif : Étendre l'espace des données initiales à $\dot{H}^{-\beta}$, s'appuyant sur les travaux de [5] et [8] qui considéraient $\alpha=0$.

Les auteurs déclarent que leurs résultats généralisent les conclusions de [5, 8, 26]. Plus précisément, ils montrent que l'exposant critique est décalé par la force de la singularité $\alpha$ et par le déficit de régularité $\beta$. Le papier souligne également une amélioration de l'estimation de la borne supérieure de la durée de vie par rapport aux travaux précédents (spécifiquement [15, Théorème 1.8]) dans le cas $\alpha = \beta = 0$, en incluant un facteur de correction logarithmique. Le travail est présenté comme une analyse mathématique rigoureuse établissant le seuil entre l'existence globale et l'explosion pour cette classe spécifique d'équations.