$\boldsymbol{H}(\textbf{curl})$-reconstruction of piecewise polynomial fields with application to $hp$-a posteriori nonconforming error analysis for Maxwell's equations

Titre

Reconstruction $H(\text{curl})$ de champs polynomiaux par morceaux avec application à l'analyse d'erreur a posteriori $hp$ non conforme pour les équations de Maxwell.

1. Problématique

Le papier aborde la reconstruction de champs conformes dans l'espace $H(\text{curl})$ à partir de champs polynomiaux par morceaux définis sur un maillage simplicial régulier. Ce problème est central pour l'analyse d'erreur a posteriori dans le contexte des méthodes d'éléments finis non conformes, en particulier pour les équations de Maxwell.

Les défis spécifiques identifiés sont :

• Non-conformité : Les solutions approchées (par exemple, via la méthode de Galerkin discontinue ou dG) ne satisfont pas nécessairement les conditions de continuité tangentielle requises par l'espace $H(\text{curl})$.
• Optimalité $hp$ : Il est difficile d'obtenir des estimations d'erreur optimales à la fois en taille de maille ($h$) et en degré polynomial ($p$) pour les reconstructions basées sur des prescriptions de degrés de liberté ou des moyennes simples, qui souffrent souvent de sous-optimalité en $p$.
• Topologie du domaine : Les reconstructions globales dépendent souvent de la topologie du domaine (connexité, trous), ce qui complique les estimations de constantes.
• Application : L'objectif est d'analyser l'erreur pour l'approximation des équations de Maxwell (opérateur curl-curl) par des méthodes dG à pénalité intérieure symétrique.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent un opérateur de reconstruction $R_c$ non polynomial, défini localement sur les "patches" de sommets (l'union des cellules partageant un sommet).

Construction de l'opérateur :

1. Partition de l'unité : Utilisation des fonctions de base "hat" ($\psi_a$) associées à chaque sommet $a$ du maillage pour décomposer le problème global en problèmes locaux sur les patches $D_a$.
2. Décomposition de Helmholtz locale : Sur chaque patch $D_a$, le champ reconstruit $E_a$ est décomposé en une partie à rotationnel non nul et une partie à gradient :
   $$E_a = U_a + \nabla \theta_a$$
   • $U_a \in H_0(\text{curl}; D_a) \cap H(\text{div}=0; D_a)$ est solution d'un problème variationnel minimisant l'erreur de rotationnel.
   • $\theta_a \in H^1_0(D_a)$ est solution d'un problème de Poisson pour corriger la divergence.
3. Opérateur de relèvement : Un opérateur de relèvement des sauts ($L_h^p$) est utilisé pour traiter les discontinuités du champ original et de son rotationnel à travers les interfaces.
4. Reconstruction globale : Le champ reconstruit global est la somme des contributions locales : $R_c(E_h) = \sum_{a \in V_h} E_a$.

Outils mathématiques clés :

• Inégalités de trace discrètes et projections orthogonales $L^2$.
• Une nouvelle inégalité de Poincaré locale sur les patches, préservant le rotationnel brisé et la divergence (Lemme 4.3).
• Une hypothèse de régularité elliptique uniforme pour le problème de Neumann sur les patches (Hypothèse 3.5), permettant d'améliorer les estimations en norme $L^2$.

3. Contributions Clés

• Opérateur de reconstruction $H_0(\text{curl})$ : Définition d'un opérateur explicite qui transforme n'importe quel champ polynomial par morceaux en un champ conforme $H_0(\text{curl})$, sans imposer de conditions d'orthogonalité sur le champ original (contrairement à certaines méthodes précédentes).
• Estimations $hp$ quasi-optimales :
  • Norme du rotationnel brisé : L'erreur est bornée de manière optimale en $h$ et sous-optimale de $1/2$ ordre en $p$.
  • Norme $L^2$ : L'erreur est bornée de manière optimale en $h$ et sous-optimale de $3/2$ ordre en $p$ (sans hypothèse supplémentaire), ou de $1/2$ ordre en $p$ sous l'hypothèse de régularité elliptique uniforme.
• Indépendance topologique : Grâce à la construction locale sur les patches (qui ont une topologie triviale), les constantes des estimations ne dépendent pas de la topologie globale du domaine (contrairement aux reconstructions globales).
• Extension aux maillages agglomérés : La méthode s'applique aux maillages polytopaux agglomérés en considérant le sous-maillage simplicial sous-jacent.
• Application aux équations de Maxwell : Première analyse d'erreur a posteriori complète $hp$ pour la méthode dG symétrique appliquée aux équations de Maxwell, reposant sur cette reconstruction locale.

4. Résultats Principaux

Les résultats sont formalisés dans le Théorème 3.7 et le Théorème 6.8.

• Bornes d'erreur de reconstruction :
  Pour un champ $E_h \in P^b_p(\mathcal{T}_h)$, l'erreur $E_h - R_c(E_h)$ satisfait :
  $$\| \nabla_h \times (R_c(E_h) - E_h) \| \lesssim \left( \sum_K \left[ \frac{h_K}{p} \|[\![\nabla_h \times E_h]\!]^d\|^2 + \frac{p^2}{h_K} \|[\![E_h]\!]^c\|^2 \right] \right)^{1/2}$$
  $$\| R_c(E_h) - E_h \| \lesssim p \left( \sum_K \left[ \left(\frac{h_K}{p}\right)^3 \|[\![\nabla_h \times E_h]\!]^d\|^2 + h_K \|[\![E_h]\!]^c\|^2 \right] \right)^{1/2}$$
  Sous l'hypothèse de régularité (Assumption 3.5), le terme en $p$ devant la norme $L^2$ est réduit, améliorant la sous-optimalité.

• Analyse d'erreur a posteriori :
  Pour l'approximation dG des équations de Maxwell, l'erreur totale est décomposée en erreur conforme ($e_c$) et non conforme ($e_{nc}$).

  • L'erreur non conforme est contrôlée par l'estimateur de non-conformité $\eta_{nc}$ (basé sur les sauts du champ et de son rotationnel).
  • L'erreur conforme est contrôlée par les résidus de l'équation ($\eta_{div}, \eta_{curl}$).
  • Théorème de fiabilité : L'erreur totale est majorée par l'estimateur global $\eta$ (Théorème 6.8).
  • Efficacité locale : Les estimateurs sont aussi minorés par l'erreur locale (Proposition 6.9), confirmant leur fiabilité pour le raffinement adaptatif.

5. Signification et Impact

Ce travail comble une lacune importante dans la littérature sur l'analyse numérique des équations de Maxwell :

1. Avancée théorique : Il fournit le premier cadre d'analyse d'erreur a posteriori $hp$ complet pour les méthodes non conformes (dG) sur les équations de Maxwell, dépassant les limitations des analyses antérieures qui étaient souvent limitées à l'optimalité en $h$ ou nécessitaient des hypothèses restrictives.
2. Robustesse : La méthode de reconstruction locale sur les patches évite les dépendances topologiques complexes, rendant les estimateurs d'erreur applicables à des domaines généraux (multiplement connexes).
3. Praticité : Bien que la reconstruction $R_c$ soit utilisée pour la preuve théorique, elle n'a pas besoin d'être calculée numériquement pour obtenir les estimateurs d'erreur. Les estimateurs sont calculés directement à partir des sauts du champ discret.
4. Versatilité : L'approche est extensible aux conditions aux limites mixtes, aux maillages polytopaux et aux domaines convexes, offrant une base solide pour le développement d'algorithmes de raffinement adaptatif ($h$ et $p$) efficaces pour les simulations électromagnétiques.

En résumé, ce papier établit un pont rigoureux entre la théorie de la reconstruction de champs et l'analyse d'erreur pratique pour les problèmes d'ondes électromagnétiques, permettant une meilleure maîtrise de la précision des simulations numériques.