Effective Bertini theorems and zeros of $p$-adic forms of degrees 7 and 11

1. Contexte et Problématique

Conjecture d'Artin :
Le papier s'attaque à la conjecture d'Artin concernant les formes $p$-adiques. Soit $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$ avec un corps résiduel isomorphe à $\mathbb{F}_q$. La conjecture stipule que $K$ est un corps $C_2$ : pour tout entier $d > 0$ et tout $n \ge d^2$, toute forme homogène $F \in K[x_0, \dots, x_n]$ de degré $d$ possède une solution non triviale dans $K$.
Bien que cette conjecture ait été réfutée pour certains degrés composés (contre-exemple de Terjanian pour $d=4$), elle reste ouverte pour les degrés premiers $d > 3$.

Objectif spécifique :
Les auteurs visent à améliorer les bornes effectives sur la taille du corps résiduel $q$ pour lesquelles la conjecture est vraie pour les degrés premiers $d=7$ et $d=11$.

• Les résultats antérieurs (notamment ceux de Wooley) établissaient ces propriétés pour $q > 883$ ($d=7$) et $q > 8053$ ($d=11$).
• L'objectif est de réduire ces seuils en exploitant plus finement la structure géométrique des formes réduites.

2. Méthodologie

La stratégie repose sur une approche combinant la théorie des nombres $p$-adiques et la géométrie algébrique sur les corps finis.

A. Réduction au cas des formes réduites

En suivant Birch, Lewis et Laxton, les auteurs se restreignent aux formes réduites. Une forme $F$ est dite réduite si son invariant résultant $I(F)$ a une valuation minimale parmi toutes les formes équivalentes à coefficients entiers.

• Propriété clé : Pour une forme réduite, la réduction modulo $\pi$ (notée $f$) ne possède pas de facteurs linéaires sur $\mathbb{F}_q$.
• Lemme de Hensel : Si la variété $X_f$ définie par $f$ sur $\mathbb{F}_q$ possède un point lisse ($X_f(\mathbb{F}_q)_{sm} \neq \emptyset$), alors $F$ possède une solution dans $K$.
• Stratégie : Montrer que pour $q$ suffisamment grand, $X_f$ possède toujours un point lisse, ou bien que l'absence de tels points force une structure géométrique spécifique permettant de trouver une solution.

B. Théorèmes de Bertini Effectifs (Nouvelle Contribution Majeure)

Le cœur technique du papier est l'établissement de nouveaux théorèmes de Bertini effectifs pour les intersections de hypersurfaces avec des plans sur un corps fini $\mathbb{F}_q$.

• Problème classique : Le théorème de Bertini classique garantit l'existence d'une section hyperplane générique ayant une propriété (ex: irréductibilité géométrique), mais ne donne pas de borne sur le nombre de sections "mauvaises" sur un corps fini.
• Approche des auteurs : Ils adaptent l'algorithme de factorisation de Kaltofen pour les polynômes bivariés.
  • Ils considèrent une hypersurface $X_f$ de degré $d$ et une droite $L$.
  • Ils étudient les plans $P$ contenant $L$.
  • Ils établissent des conditions polynomiales (via des mineurs de matrices issues de l'approximation de Newton) qui garantissent que l'intersection $X_f \cap P$ ne possède pas de composantes de petit degré passant par un point singulier marqué.
• Résultat clé (Théorème A) : Ils donnent des bornes supérieures explicites sur le nombre de plans "mauvais" et prouvent l'existence d'un plan "bon" dès que $q$ dépasse une certaine fonction polynomiale de $d$.

C. Analyse Géométrique des Courbes de Degré 7 et 11

Les auteurs analysent la structure des courbes planes obtenues par intersection.

• Ils démontrent que si $X_f$ n'a pas de point lisse, alors il existe deux points singuliers $y, z \in X_f(\mathbb{F}_q)$ tels que la droite $\langle y, z \rangle$ coupe la variété en un point géométrique de multiplicité 1 (non défini sur $\mathbb{F}_q$).
• En appliquant leur théorème de Bertini amélioré à cette configuration, ils trouvent un plan contenant cette droite où la courbe résultante possède :
  1. Au moins deux points $\mathbb{F}_q$ (les points $y$ et $z$).
  2. Une composante géométriquement intégrale de degré $d'$.
  3. Des singularités supplémentaires qui réduisent le genre géométrique de la composante.

3. Résultats Principaux

Les auteurs prouvent le Théorème B, qui améliore considérablement les bornes connues :

1. Pour le degré $d=7$ :

   • Si $q > 679$, alors toute forme de degré 7 sur $K$ possède une solution non triviale ($K$ est $C_2(7)$).
   • Amélioration : Passé de $q > 883$ à $q > 679$.

2. Pour le degré $d=11$ :

   • Si $q > 7393$, alors toute forme de degré 11 sur $K$ possède une solution non triviale ($K$ est $C_2(11)$).
   • Amélioration : Passé de $q > 8053$ à $q > 7393$.

Détail de la preuve pour $d=7$ :

• Si $f$ est géométriquement réductible, une composante de degré $d' \le 3$ apparaît, garantissant un point lisse pour $q > 19$.
• Si $f$ est géométriquement irréductible, l'application du théorème de Bertini permet de trouver une courbe plane de degré 7 avec au moins deux points $\mathbb{F}_q$ singuliers.
• La présence de ces singularités réduit le genre géométrique $g'$ de la courbe (de 15 à au plus 13).
• En utilisant une version modifiée de la borne de Hasse-Weil (Lemme 3.2), on montre que pour $q > 679$, le nombre de points lisses est strictement positif.

Détail de la preuve pour $d=11$ :

• Une analyse similaire est menée. La réduction du genre géométrique (de 55 à au plus 43) grâce aux singularités imposées par la structure des formes réduites permet d'abaisser le seuil à $q > 7393$.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Théorème de Bertini Effectif Renforcé (Théorème 2.1 et 2.2) :

   • Extension des résultats de Cafure et Matera aux hypersurfaces réductibles.
   • Affaiblissement des hypothèses sur les algorithmes de factorisation de Kaltofen (ne nécessitant plus que le polynôme soit sans facteur carré sur l'axe, mais seulement ayant une racine simple).
   • Fourniture de bornes explicites pour l'existence de plans avec des propriétés d'irréductibilité spécifiques.

2. Exploitation des Singularités :

   • Contrairement à Wooley qui cherchait des courbes lisses, les auteurs exploitent activement la présence de points singuliers $\mathbb{F}_q$ sur les courbes planes.
   • Ils montrent que ces singularités, loin d'être un obstacle, réduisent le genre de la courbe, rendant l'application des bornes de Hasse-Weil plus efficace pour garantir l'existence de points lisses restants.

3. Optimisation des bornes pour $d=7$ et $d=11$ :

   • La méthode permet de traiter les cas où le degré est un nombre premier, évitant les décompositions en sommes de nombres composés qui posent problème pour les degrés supérieurs.

5. Signification et Impact

• Avancement de la Conjecture d'Artin : Ce travail repousse les limites effectives de la validité de la conjecture d'Artin pour les degrés premiers 7 et 11, démontrant que la conjecture tient pour des corps $p$-adiques avec des corps résiduels plus petits que ce qui était précédemment connu.
• Outils Géométriques : Les théorèmes de Bertini effectifs développés sont des outils puissants qui peuvent être appliqués à d'autres problèmes de géométrie arithmétique sur les corps finis, notamment pour l'étude de l'irréductibilité des sections d'hypersurfaces.
• Méthodologie : L'approche combinant l'analyse fine des formes réduites, la géométrie des singularités et les algorithmes de factorisation polynomiale offre un modèle pour aborder des problèmes similaires pour d'autres degrés premiers.

En résumé, ce papier représente une avancée significative en géométrie arithmétique effective, reliant profondément la théorie des formes $p$-adiques à la géométrie des courbes sur les corps finis via des outils algorithmiques raffinés.