Co-Higgs bundles of Schwarzenberger type and the determinant morphism

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des fibrés de Higgs (et plus spécifiquement des co-Higgs bundles) sur des variétés algébriques complexes. Le problème central abordé est la description explicite de l'image du morphisme de Hitchin (ou de ses composantes, comme le morphisme du déterminant) lorsque le fibré vectoriel sous-jacent n'est pas arbitraire, mais fixé à une classe spécifique de fibrés.

• Contexte général : Pour une courbe algébrique complexe $X$ de genre $g \ge 2$, le morphisme de Hitchin est propre, surjectif et ses fibres génériques sont des variétés abéliennes (système intégrable complet). En dimension supérieure ($\dim X \ge 2$), le morphisme n'est plus surjectif. L'image conjecturée est une sous-schéma fermé non linéaire $B^\heartsuit \subset B$.
• Difficulté : Aucune description explicite de cette image n'est disponible dans la littérature lorsque le fibré de twist n'est pas un fibré en droites (cas des fibrés de Higgs tordus par un fibré vectoriel $V$).
• Objectif de l'article : Contourner cette difficulté en restreignant l'étude aux co-Higgs bundles (fibrés de Higgs tordus par le fibré tangent $T\mathbb{P}^2$) dont le fibré vectoriel sous-jacent est un fibré de Schwarzenberger de rang 2, noté $V^\rho_k$. L'auteur se concentre sur les composantes de trace nulle et étudie l'image du morphisme du déterminant ($\det$).

2. Méthodologie

L'approche méthodologique repose sur une analyse géométrique et algébrique fine des fibrés de Schwarzenberger et de leurs champs de Higgs intégrables.

1. Objets d'étude :

   • Fibrés de Schwarzenberger ($V^\rho_k$) : Une famille de fibrés vectoriels holomorphes de rang 2 sur $\mathbb{P}^2$, définis par un revêtement double $f^\rho : \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$ ramifié le long d'une conique non singulière $\rho = 0$.
   • Cas exclus : Le cas $k=3$ est exclu car il admet des co-Higgs bundles stables qui ne suivent pas la structure générique observée pour les autres $k$.
   • Cas analysés : $k=0, 1, 2$ et $k > 3$.

2. Outils techniques :

   • Stabilité de Gieseker : Utilisation de la stabilité de Gieseker pour définir les espaces de modules $\mathcal{M}^{ss}_{\mathbb{P}^2}(V^\rho_k, T\mathbb{P}^2)$.
   • Condition d'intégrabilité : L'étude de la condition $\phi \wedge \phi = 0$ pour le champ de Higgs $\phi : E \to E \otimes T\mathbb{P}^2$.
   • Décomposition tensorielle : Pour les champs stables, l'auteur démontre que $\phi$ se décompose souvent sous la forme $\phi = \phi_0 \otimes C$, où $\phi_0$ est une section de $\text{End}_0(E) \otimes \mathcal{O}(1)$ et $C$ une section de $T\mathbb{P}^2(-1)$.
   • Calcul du déterminant : Le déterminant s'exprime alors comme $\det(\phi) = \det(\phi_0) \otimes \text{Sym}^2(C)$.
   • Analyse des sections globales : Calcul explicite des espaces de sections $H^0(\mathcal{O}(2))$, $H^0(T\mathbb{P}^2(-1))$, et $H^0(T\mathbb{P}^2)$, et étude des relations d'équivalence induites par l'action de $\mathbb{C}^*$.

3. Résultats Principaux

L'article établit des bijections explicites entre l'image du morphisme du déterminant et des espaces de sections quotients, pour chaque valeur de $k$ (sauf $k=3$).

Cas $k=0$ ($V^\rho_0 \cong \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-1)$)

• Résultat (Théorème 2.2.4) : L'image est en bijection avec l'espace quotient :
  $$\left( H^0(\mathcal{O}(2))^\times \times H^0(T\mathbb{P}^2(-1))^\times \right) / \sim \quad \sqcup \quad \{0\}$$
  où la relation d'équivalence est $(q, C) \sim (\alpha^2 q, \alpha^{-1} C)$ pour $\alpha \in \mathbb{C}^*$.
• Dimension : $\dim(\text{Im}) < 9$, alors que $\dim H^0(\text{Sym}^2(T\mathbb{P}^2)) = 27$. Le morphisme n'est pas surjectif.

Cas $k=1$ ($V^\rho_1 \cong \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}$)

• Résultat (Théorème 2.2.6) : L'image est plus complexe car elle contient deux types de sections : celles de la forme $q \otimes \text{Sym}^2(C)$ et celles de la forme $\text{Sym}^2(A)$ (où $A \in H^0(T\mathbb{P}^2)$).
• Structure : L'image est l'union disjointe (avec identification sur l'intersection) d'un espace quotient similaire au cas $k=0$ et de l'espace $H^0(T\mathbb{P}^2) / \{\pm 1\}$.
• Dimension : $\dim(\text{Im}) < 9$. Non surjectif.

Cas $k=2$ ($V^\rho_2 \cong T\mathbb{P}^2$)

• Résultat (Théorème 2.2.8) : Tout champ de Higgs intégrable est de la forme $\phi = \phi_0 \otimes C$. Le morphisme du déterminant restreint à $\phi_0$ est surjectif vers $H^0(\mathcal{O}(2))$.
• Image : Identique structurellement au cas $k=0$ (bijections avec le quotient des sections non nulles plus le zéro).
• Dimension : $\dim(\text{Im}) < 9$. Non surjectif.

Cas $k > 3$

• Résultat (Théorème 2.2.10) : La situation change radicalement. Pour tout champ intégrable, le déterminant est contraint à être de la forme $\lambda \rho \otimes \text{Sym}^2(C)$, où $\rho$ est le polynôme définissant la conique de branchement.
• Image : L'image est isomorphe à $H^0(T\mathbb{P}^2(-1)) / \{\pm 1\}$.
• Dimension : $\dim(\text{Im}) \le 3$. L'image est extrêmement petite par rapport à l'espace cible.

4. Contributions Clés

1. Description explicite de l'image : Pour la première fois, l'article fournit une description concrète (en termes de schémas complexes et de quotients d'espaces de sections) de l'image du morphisme de Hitchin (via le déterminant) pour des fibrés de Higgs tordus par un fibré vectoriel non trivial (le fibré tangent) et avec un fibré sous-jacent fixe.
2. Classification par le rang $k$ : L'auteur démontre que la structure de l'image dépend fortement de l'indice $k$ du fibré de Schwarzenberger, révélant des comportements distincts pour les petits rangs ($k \le 2$) et les grands rangs ($k > 3$).
3. Non-surjectivité systématique : Il est prouvé que le morphisme du déterminant n'est jamais surjectif vers l'espace total $H^0(\text{Sym}^2(T\mathbb{P}^2))$ pour ces fibrés, confirmant la nature restrictive de l'image conjecturée $B^\heartsuit$ en dimension supérieure.
4. Exclusion du cas $k=3$ : L'article identifie et justifie l'exclusion du cas $k=3$, où la structure des fibrés stables est différente et ne permet pas la même décomposition tensorielle.

5. Signification et Impact

• Avancement de la théorie des systèmes intégrables : Ces résultats contribuent à la compréhension des systèmes intégrables en dimension supérieure, un domaine où les résultats sont rares comparés au cas des courbes.
• Géométrie des fibrés de Schwarzenberger : L'étude met en lumière les propriétés géométriques spécifiques des fibrés de Schwarzenberger sur $\mathbb{P}^2$, notamment leur rigidité et leur comportement sous déformation infinitésimale.
• Méthodologie pour les cas futurs : La technique de décomposition $\phi = \phi_0 \otimes C$ et l'analyse des conditions d'intégrabilité fournissent un modèle méthodologique pour étudier d'autres classes de fibrés de Higgs tordus sur des variétés projectives.
• Validation des conjectures : Les résultats soutiennent l'hypothèse selon laquelle l'image du morphisme de Hitchin en dimension supérieure est un sous-ensemble strict et de dimension inférieure de l'espace de base, offrant des exemples calculables pour tester les conjectures générales.

En résumé, cet article offre une analyse rigoureuse et calculée de la géométrie des co-Higgs bundles sur $\mathbb{P}^2$ modelés sur des fibrés de Schwarzenberger, établissant des bornes précises sur l'image du morphisme du déterminant et enrichissant la compréhension des systèmes intégrables en dimension supérieure.