Adiabatic preparation of thermal states and entropy-noise relation on noisy quantum computers

1. Problématique et Contexte

La simulation de systèmes à température finie (états d'équilibre thermique) sur les ordinateurs quantiques est un défi majeur, souvent plus complexe que la préparation d'états fondamentaux (à température nulle).

• Limites des approches existantes : De nombreuses méthodes existent (évolution en temps imaginaire, algorithmes variationnels, couplage à un bain), mais elles souffrent souvent de coûts de ressources élevés, de besoins en échantillonnage massif ou de difficultés pratiques d'implémentation.
• Objectif de l'article : Proposer une généralisation de l'algorithme adiabatique (habituellement réservé aux états fondamentaux) pour préparer des états thermiques locaux. L'objectif n'est pas de préparer l'état de Gibbs exact sur tout le système (ce qui est physiquement difficile via une évolution unitaire pure), mais d'assurer que les sous-systèmes locaux sont à l'équilibre thermique.

2. Méthodologie et Cadre Théorique

Les auteurs proposent un protocole basé sur l'évolution adiabatique d'un état thermique initial vers un état thermique final.

A. Principe de la préparation adiabatique thermique

1. Initialisation : On prépare le système dans un état de Gibbs $\rho_0 \propto e^{-\beta_0 H_0}$ d'un Hamiltonien simple $H_0$ (par exemple, un champ transverse pur), qui peut être préparé efficacement comme un mélange statistique de produits d'états.
2. Évolution : On fait évoluer le système adiabatiquement de $H_0$ vers un Hamiltonien cible $H_f$ (par exemple, un modèle d'Ising) via un Hamiltonien dépendant du temps $H(t)$.
3. Thermalisation locale : En supposant que le système satisfait la propriété de thermalisation (Eigenstate Thermalization Hypothesis), l'état final $\rho_f$ sera localement à l'équilibre thermique pour $H_f$ à une température inverse $\beta_f$.

B. Conservation de la densité d'entropie

Un résultat théorique central de l'article est la démonstration que, dans la limite thermodynamique ($N \to \infty$), l'évolution adiabatique idéale préserve la densité d'entropie des matrices de densité réduites locales.

• Contrairement à l'entropie totale du système (qui est conservée par l'unitarité), la densité d'entropie locale change généralement. Cependant, les auteurs prouvent que pour une évolution adiabatique lente, la variation de densité d'entropie est nulle à l'ordre dominant.
• Cela permet de relier la température finale $\beta_f$ à la température initiale $\beta_0$ via la relation :
  $$\beta_f = \frac{\partial_{\beta_0} S_0}{\partial_{\beta_0} E_f}$$
  où $S_0$ est la densité d'entropie initiale et $E_f$ la densité d'énergie finale.

C. Gestion du bruit et protocole de "Miroir"

Sur du matériel réel, le bruit (décohérence, erreurs de portes) augmente l'entropie du système, rendant l'évolution non isentropique. Pour contourner cela et mesurer l'entropie générée :

• Protocole de circuit miroir : Au lieu d'exécuter l'évolution complète jusqu'à $H_f$, on exécute la moitié du circuit jusqu'à $t=T/2$, puis on applique le circuit inverse exact pour revenir à $H_0$.
• Mesure : Dans un cas sans bruit, on retrouve l'état initial. Avec du bruit, l'état final est un état thermique de $H_0$ à une température différente. Comme les états de Gibbs de $H_0$ sont des produits d'états, on peut mesurer simplement l'observable locale $\langle X \rangle$ pour déduire la température effective et donc la densité d'entropie générée par le bruit.

3. Résultats Clés

A. Résilience au bruit (Robustesse)

Les simulations numériques (avec un canal de dépolarisation) montrent une propriété remarquable :

• Bien que le bruit augmente l'énergie et l'entropie absolues, la courbe énergie-température ($E(\beta)$) mesurée reste insensible à l'amplitude du bruit.
• Un état préparé sur un matériel bruyant à une température donnée est équivalent à un état préparé sans bruit à une température plus élevée. La relation fonctionnelle entre énergie et température est préservée, ce qui rend le protocole robuste pour caractériser les états thermiques malgré le bruit.

B. Estimation de la non-adibaticité

Les auteurs proposent un test pour vérifier si l'évolution est suffisamment lente (adiabatique) :

• On insère quelques étapes de Trotter supplémentaires de l'Hamiltonien final $H_f$ au milieu du circuit miroir.
• Si l'évolution est adiabatique, l'état intermédiaire est déjà thermique pour $H_f$, donc l'application de $H_f$ ne change pas l'entropie mesurée.
• Si l'évolution n'est pas adiabatique, l'entropie mesurée change significativement. Ce test permet de valider la qualité de l'implémentation sur le matériel.

C. Implémentation sur le matériel Quantinuum H1-1

L'équipe a testé le protocole sur le processeur à ions piégés H1-1 de Quantinuum (20 qubits, grille 5x4, modèle d'Ising 2D).

• Configuration : 640 portes à deux qubits.
• Résultats mesurés :
  • Densité d'entropie par site : $0.166 \pm 0.0045$.
  • Température finale du modèle d'Ising : $T = 2.56 \pm 0.26$ (en unités de l'énergie du gap, soit environ la moitié du gap fondamental).
• Analyse des écarts : Une comparaison entre les résultats matériels et les simulations numériques bruyantes révèle une légère divergence dans l'énergie mesurée. Les auteurs attribuent cela principalement aux erreurs de fuite (leakage errors) (ions sortant de l'espace de calcul), qui biaisent les mesures sans nécessairement augmenter l'entropie de la même manière que le bruit de dépolarisation.

4. Contributions et Signification

1. Nouveau paradigme de préparation : Passage de la préparation d'états de Gibbs globaux (difficiles) à des états localement thermiques, justifié physiquement par la thermalisation et la conservation locale de l'entropie adiabatique.
2. Méthode de benchmarking : Utilisation de l'évolution adiabatique thermique comme outil de référence pour mesurer l'entropie injectée par le bruit matériel via des circuits miroirs.
3. Robustesse démontrée : Preuve que les relations thermodynamiques macroscopiques (courbe $E-T$) sont préservées même en présence de bruit significatif, offrant une voie prometteuse pour la simulation de matériaux à température finie sur les ordinateurs quantiques actuels (NISQ).
4. Validation expérimentale : Première démonstration réussie de la préparation d'un état thermique à température finie sur un matériel quantique réel de haute fidélité, fournissant une métrique de référence concrète pour les performances du matériel.

En conclusion, cet article établit un cadre théorique solide et une méthode pratique pour exploiter les ordinateurs quantiques bruyants afin de simuler des propriétés thermodynamiques, en tirant parti de la conservation de l'entropie adiabatique et de techniques de mesure innovantes pour contourner les limitations du bruit.