The zariskian p-adic bifiltered El Zein-Steenbrink-Zucker complex of a proper SNCL scheme with a relative SNCD

Résumé Technique : Le complexe de El Zein-Steenbrink-Zucker p-adique bifiltré zariskien

Énoncé du Problème
Cet article traite de la formulation et de la vérification partielle de la conjecture de la monodromie-poids relative log p-adique. Cette conjecture est une généralisation de la célèbre conjecture de la monodromie-poids p-adique (étudiée précédemment par Mokrane et l'auteur) au cadre des schémas SNCL (simple normal crossing log) propres équipés d'un diviseur SNCD (simple normal crossing relatif).

Le problème central consiste à construire un cadre cohomologique approprié pour les schémas SNCL propres $(X, D)$ sur une base $S_0$ de caractéristique $p > 0$ qui incorpore simultanément :

1. La filtration de poids issue de la structure SNCL de $X$.
2. La filtration de monodromie relative issue du SNCD relatif $D$.
3. L'opérateur de monodromie $N$ agissant sur la cohomologie cristalline log.

L'auteur vise à définir un complexe bifiltré qui capture ces structures et à prouver que l'opérateur de monodromie induit un isomorphisme entre les morceaux gradués spécifiques des filtrations de poids et de monodromie relative, modulo torsion.

Méthodologie
L'article emploie une construction rigoureuse dans le cadre de la cohomologie cristalline log et des enveloppes PD, étendant les travaux précédents sur les filtrations de poids pour les schémas SNCL.

1. Construction du Complexe :
   L'auteur construit le complexe de El Zein-Steenbrink-Zucker p-adique bifiltré zariskien, noté $(Azar((X, D)/S), P^D, P)$. Il s'agit d'un complexe bifiltré dans la catégorie dérivée $D^+F_2(f^{-1}(\mathcal{O}_S))$.

• La construction repose sur l'immersion du schéma dans un schéma formel semi-stable strict simpliciel et sur l'utilisation d'enveloppes log PD.
• Il utilise des pré-filtrations de poids définies sur les formes différentielles log, distinguant spécifiquement les filtrations liées à la structure SNCL ($P$) et au SNCD relatif ($P^D$).
• Le complexe est défini via un complexe bicomplexe simpliciel de formes différentielles log sur l'enveloppe PD, quotienté par des étapes de filtration spécifiques.

2. Functorialité et Changement de Base :
   L'article établit la functorialité contravariante de ce complexe sous les morphismes de schémas log, en traitant soigneusement le « décalage de degré » (D-twist) requis lorsque le degré du morphisme est divisible par $p$. Il prouve également un théorème de changement de base bifiltré, garantissant que le complexe se comporte bien sous le changement de base de l'agrandissement log PD.

3. Opérateurs de Monodromie :
   L'auteur rappelle l'opérateur de monodromie $N$ défini dans les travaux précédents (H. Kato et l'auteur) et démontre qu'il induit un endomorphisme bien défini sur le complexe bifiltré construit. Cet opérateur est montré comme décalant la filtration de poids $P$ de $-2$ et préservant la filtration relative $P^D$.

4. Suites Spectrales :
   Deux nouvelles suites spectrales sont dérivées du complexe bifiltré :

• Une suite spectrale de Poincaré relative au diviseur $D$.
• Une suite spectale de poids (analogue à la dégénérescence en $E_1$ de la suite spectale de poids pour les schémas SNCL).

Contributions Clés et Résultats

1. Le Théorème Principal (Théorème 1.4) :
   L'article prouve l'existence du complexe bifiltré $(Azar((X, D)/S), P^D, P)$ avec un isomorphisme canonique vers la cohomologie cristalline log $R u_{(X,D)/S*}(\mathcal{O}_{(X,D)/S})$. Les morceaux gradués des filtrations sont explicitement décrits en termes de la cohomologie cristalline des intersections des composantes lisses de $X$ et $D$, tordues par les faisceaux d'orientation cristalline.

2. La Conjecture de la Monodromie-Poids Relative (Conjecture 1.5) :
   L'auteur formule la conjecture selon laquelle, pour un schéma SNCL propre projectif avec un SNCD relatif, le morphisme induit
   $$N^e: \text{gr}^P_{q+k+e} \text{gr}^{P^D}_k R^q f_* (\mathcal{O}) \to \text{gr}^P_{q+k-e} \text{gr}^{P^D}_k R^q f_* (\mathcal{O})(-e)$$
   est un isomorphisme modulo torsion. Cela équivaut à l'existence d'une filtration de monodromie relative $M$ qui coïncide avec la filtration de poids $P$ sur la cohomologie rationnelle.

3. Preuve dans des Cas Spécifiques (Théorème 1.6 et Corollaires) :

• Théorème 1.6 : Si la conjecture de la monodromie-poids log p-adique (pour le schéma $D(k)/S$ sans la structure de diviseur relatif) est vraie, alors la conjecture de la monodromie-poids relative log p-adique est vraie.
• Corollaire 1.7 : La conjecture est prouvée vraie si la dimension relative de $X$ sur $S$ est $\le 2$, en s'appuyant sur les résultats connus pour les cas de faible dimension.
• Corollaire 1.8 : La conjecture est vraie si les fibres du schéma sont des fibres spéciales log de familles semi-stables strictes propres sur des anneaux de valuation discrète complète de même caractéristique.

4. Dégénérescence en $E_2$ :
   L'article prouve la dégénérescence en $E_2$ de la suite spectale de poids p-adique modulo torsion (Section 10), une étape cruciale pour établir la compatibilité des filtrations.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir l'analogue p-adique des complexes bifiltrés construits par El Zein, Steenbrink et Zucker dans le cadre analytique complexe (spécifiquement pour les familles semi-stables strictes sur le disque unité).

• Généralisation : Il généralise les travaux précédents de l'auteur sur les filtrations de poids pour les schémas SNCL (sans diviseurs relatifs) et la filtration de monodromie relative $l$-adique construite dans [N6].
• Attente Motivique : L'auteur note que la filtration de monodromie relative est attendue comme étant « motivique », et cette construction p-adique fournit une réalisation concrète de cette attente dans le contexte de la cohomologie cristalline log.
• Fondation Technique : La construction du « complexe de El Zein-Steenbrink-Zucker p-adique bifiltré zariskien » est présentée comme l'outil fondamental requis pour formuler et investiguer la conjecture de la monodromie-poids relative en caractéristique $p$.

L'article ne prétend pas prouver la conjecture dans sa pleine généralité mais établit sa validité dans des cas significatifs (faible dimension relative, types de déformations spécifiques) et réduit le problème général à la validité de la conjecture non-relative pour les composantes du diviseur. Le travail est présenté comme une continuation nécessaire de la théorie de la cohomologie cristalline log pour traiter les singularités relatives (SNCD relatifs).