Hedging Options on Asset Portfolios against Just One Underlying Asset in the Presence of Transaction Costs

Cette étude examine la stratégie de couverture optimale pour des options sur un portefeuille à deux actifs en présence de coûts de transaction, démontrant par simulation que la couverture avec un actif corrélé mais non sous-jacent peut être préférable à la couverture avec l'actif correct si la corrélation est suffisamment élevée et les coûts de transaction suffisamment faibles, tel que déterminé par des métriques de valeur ajustée au risque.

L'essentiel

Imaginez que vous possédiez un billet (une option) qui vous donne le droit d'acheter une maison spécifique (Actif 1) à un prix fixe dans le futur. La valeur de ce billet dépend entièrement de l'évolution du prix de cette maison.

Pour vous protéger contre une perte d'argent si le prix de la maison baisse, vous essayez généralement de vous « couvrir ». Dans le monde parfait et sans friction des manuels de mathématiques, vous achèteriez et vendriez constamment la maison elle-même pour équilibrer votre risque. Mais dans le monde réel, acheter et vendre des maisons est coûteux. Il y a des frais d'agent, des taxes et les tracas du déménagement (ce sont les coûts de transaction). Si vous essayez de rééquilibrer votre portefeuille à chaque fois que le prix bouge d'un centime, les frais absorberont tous vos profits.

Cet article pose une question astucieuse : Et si vous vous couvriez avec une autre maison, moins chère à échanger, mais qui évolue de manière très similaire ?

Le Contexte : La « Bonne » Maison vs la « Mauvaise » Maison

Les auteurs ont mis en place une simulation avec deux maisons :

1. La « Bonne » Maison (Actif 1) : C'est la maison réelle sur laquelle votre billet est basé. C'est le match parfait, mais imaginez qu'elle se trouve dans une région isolée où chaque fois que vous essayez d'acheter ou de vendre une part de celle-ci, cela coûte beaucoup d'argent (coûts de transaction élevés).
2. La « Mauvaise » Maison (Actif 2) : C'est une autre maison dans une ville voisine. Ce n'est pas la maison exacte pour laquelle votre billet est destiné, mais elle monte et descend en prix presque exactement de la même manière que la « Bonne » maison. Crucialement, elle se trouve dans une ville animée où le trading est bon marché et facile (faibles coûts de transaction).

Les chercheurs se sont demandé : Est-il préférable de payer des frais élevés pour échanger la « Bonne » maison, ou de payer des frais faibles pour échanger la « Mauvaise » maison ?

L'Expérience : Simuler le Marché

Ils ont utilisé un ordinateur pour exécuter 10 000 scénarios « et si » différents (simulations). Ils ont fait varier trois principaux paramètres :

• Corrélation ($\rho$) : À quel point les deux maisons évoluent-elles ensemble. Si $\rho$ est de 0,99, elles sont pratiquement des jumeaux. S'il est de 0,2, elles bougent à peine ensemble.
• Coûts de transaction : Le coût de l'échange de chaque maison (de 0 % jusqu'à 10 %).
• Tolérance au risque ($\lambda$) : À quel point l'investisseur se soucie du risque. Un chiffre élevé signifie qu'il est très nerveux et veut éviter le risque à tout prix. Un chiffre faible signifie qu'il est prêt à prendre des risques pour un gain potentiel.

Ils ont mesuré le succès en utilisant une métrique appelée Valeur Ajustée au Risque (VAR). Imaginez cela comme un « score » qui vous dit : « Est-ce que l'argent que je gagne vaut le stress et le risque que je prends ? »

Les Résultats : Quand Échanger la « Mauvaise » Maison

Voici ce qu'ils ont découvert, traduit en logique quotidienne :

1. Le « Match Parfait » n'est pas toujours le gagnant
Si la « Bonne » maison est très coûteuse à échanger, et que la « Mauvaise » maison est bon marché à échanger, vous pourriez mieux vous porter en échangeant la « Mauvaise » maison — mais seulement si les deux maisons sont pratiquement identiques dans leur évolution.

• L'Analogie : Imaginez que vous devez traverser une rivière. Le « Bon » pont est le chemin direct, mais le péage est de 100 $. Le « Mauvais » pont est à un mile de votre chemin, mais le péage est de 1 $. Si le « Mauvais » pont est parallèle à 99 % au « Bon » pont, prendre le détour vous économise de l'argent. Mais si le « Mauvais » pont va dans une direction complètement différente (faible corrélation), vous finirez par vous perdre, et le péage bon marché ne vous aidera pas.

2. Le Piège du « Haut Coût »
Si les frais pour échanger n'importe laquelle des maisons sont énormes (comme 10 %), la meilleure stratégie est souvent de ne rien faire du tout.

• L'Analogie : Si le péage pour traverser n'importe quel pont est de 1 000 $, et que votre billet ne vaut que 500 $, vous ne devriez pas traverser du tout. Vous feriez mieux de garder votre billet et d'accepter le risque que de payer le péage et perdre de l'argent. L'article note que cela s'applique souvent à des actifs très coûteux comme l'immobilier ou les crypto-monnaies, où les frais de transaction sont massifs.

3. Le Facteur « Aversion au Risque »
Votre décision dépend de la peur que vous avez de perdre de l'argent.

• Si vous êtes très aversé au risque (haut $\lambda$), vous préférez la « Bonne » maison même si elle est chère, car c'est la couverture parfaite.
• Si vous vous souciez moins du risque (bas $\lambda$) et que la « Mauvaise » maison est très bon marché et très similaire à la « Bonne », vous pourriez choisir la « Mauvaise » maison pour économiser sur les frais.

4. La Condition du « Pas à Pas »
L'article a révélé que pour échanger avec succès la « Mauvaise » maison, la corrélation ($\rho$) doit être extrêmement élevée (autour de 0,99).

• L'Analogie : Même si deux maisons sont dans le même quartier, si l'une monte de 1 % et que l'autre monte de 0,5 %, elles ne bougent pas « pas à pas ». Pour utiliser la « Mauvaise » maison bon marché comme bouclier, elles doivent bouger presque exactement ensemble. Si elles dérivent même un peu, la couverture bon marché échoue à vous protéger.

La Conclusion

L'article conclut que la couverture ne consiste pas seulement à choisir l'actif « correct » ; elle concerne le coût de l'échange.

• Si les coûts de transaction sont faibles : Restez sur l'actif « Correct » (celui sur lequel votre option est réellement basée). C'est le pari le plus sûr.
• Si les coûts de transaction sont élevés : Vous avez deux choix. Soit ne pas vous couvrir du tout (si les coûts sont astronomiques), soit vous couvrir avec l'actif « Mauvais » (s'il est bon marché à échanger et évolue presque exactement comme la vraie chose).
• Le Problème : Vous ne pouvez utiliser l'actif « Mauvais » que si les deux actifs sont pratiquement des jumeaux (corrélation très élevée). S'ils ne le sont pas, les économies sur les frais ne compenseront pas le risque d'un échec de la couverture.

En bref : Parfois, l'outil « mauvais » est en fait le meilleur outil, à condition qu'il soit bon marché à utiliser et qu'il fasse le travail presque aussi bien que l'outil « bon ». Mais si le travail est trop coûteux à faire, il vaut parfois mieux simplement le laisser tranquille.

Résumé technique

Résumé technique : Couverture des options sur des portefeuilles d'actifs contre un seul actif sous-jacent en présence de coûts de transaction

Énoncé du problème
L'article aborde une limitation pratique de la théorie standard de la couverture des options : l'hypothèse selon laquelle l'actif sous-jacent d'une option peut être négocié en continu et sans friction. En réalité, les coûts de transaction (comprenant des frais fixes et un glissement proportionnel) rendent la couverture delta en continu prohibitivement coûteuse, conduisant souvent à des coûts infinis dans les modèles en temps continu comme Black-Scholes. De plus, l'article examine un scénario spécifique où un investisseur détient une option de portefeuille écrite sur un mélange de deux actifs corrélés ($S_{t1}$ et $S_{t2}$) mais est contraint de se couvrir en utilisant uniquement l'un de ces actifs. La question centrale de la recherche est de déterminer la stratégie de couverture optimale dans ces conditions : l'investisseur doit-il se couvrir en utilisant l'« bon » actif (celui qui sous-tend directement la composante du portefeuille), le « mauvais » actif (l'autre actif corrélé, qui peut être moins coûteux à négocier), ou s'abstenir de se couvrir entièrement (détenir une position nue) ?

Méthodologie
Les auteurs utilisent un cadre de simulation de Monte Carlo pour analyser les stratégies de couverture delta pour des options sur actions dont les actifs suivent un mouvement brownien géométrique (gBm).

• Construction du portefeuille : Le portefeuille sous-jacent est défini comme $S_t = \alpha S_{t1} + (1-\alpha)S_{t2}$, où $\alpha$ représente la proportion du premier actif. L'étude se concentre sur les cas où $\alpha=0$ ou $\alpha=1$ (le portefeuille est entièrement basé sur un seul actif) et considère la couverture soit de $S_{t1}$, soit de $S_{t2}$.
• Mécanisme de couverture : L'étude utilise une couverture delta en temps discret. Le delta est calculé sur la base de la formule Black-Scholes, ajustée pour l'actif spécifique étant négocié. Le portefeuille est rééquilibré à des intervalles fixes ($\delta t$).
• Coûts de transaction : Des coûts de transaction proportionnels ($k$) sont appliqués à l'actif négocié. La structure des coûts comprend une composante fixe et une composante proportionnelle, modélisée comme un glissement.
• Valeur ajustée au risque (VAR) : Pour évaluer la performance, les auteurs introduisent la Valeur Ajustée au Risque (VAR) comme métrique décisionnelle principale. La VAR est définie comme suit :
  $$VAR = \text{Valeur simulée moyenne} - \lambda(\text{Écart-type de la valeur simulée})$$
  où $\lambda$ représente le prix de marché du risque. Cette métrique équilibre le rendement attendu par rapport à la volatilité.
• Paramètres de simulation : L'étude exécute 10 000 simulations à travers divers paramètres : coefficients de corrélation ($\rho$) allant de 0,2 à 0,99, coûts de transaction ($k$) de 0 % à 20 %, intervalles de rééquilibrage (de 2 à 252 étapes) et prix de marché du risque ($\lambda$) de 0,2 à 2,0.
• Nombre de Leland : L'étude fait référence au nombre de Leland ($A$) pour déterminer la viabilité des stratégies Black-Scholes modifiées. Si $A > 1$, l'article note que ne pas se couvrir est théoriquement supérieur à se couvrir dans des conditions de coûts de transaction élevés.

Résultats clés
Les résultats de la simulation, analysés via la VAR, produisent les constatations suivantes :

1. Impact des coûts de transaction : En présence de coûts de transaction, un rééquilibrage fréquent entraîne des pertes significatives par rapport aux positions non couvertes ou à des transactions moins fréquentes. Lorsque les coûts de transaction sont extrêmement élevés (par exemple 10 % ou 20 %), la stratégie optimale est systématiquement de ne pas se couvrir du tout, indépendamment de la corrélation entre les actifs.
2. Négociation du « mauvais » actif : L'étude identifie des conditions spécifiques où la couverture avec le « mauvais » actif (l'actif ne constituant pas l'exposition principale du portefeuille) est supérieure à la couverture du « bon » actif ou à l'absence de couverture. Cela se produit lorsque :
   • La corrélation ($\rho$) entre les deux actifs est très élevée (approchant 0,99).
   • Les coûts de transaction sur le « mauvais » actif sont significativement inférieurs à ceux du « bon » actif.
   • Le prix de marché du risque ($\lambda$) est faible (indiquant une aversion au risque plus faible).
   • Plus précisément, avec un coût de 1 % sur l'actif droit et de 0 % sur l'actif gauche, la négociation du mauvais actif devient optimale à $\rho=0,99$ pour des fréquences de rééquilibrage élevées.
3. Rôle de $\lambda$ : Le prix de marché du risque ($\lambda$) est un déterminant critique. Des valeurs élevées de $\lambda$ (forte aversion au risque) favorisent généralement la négociation du « bon » actif ou l'absence de couverture, tandis que des valeurs plus faibles de $\lambda$ rendent la stratégie du « mauvais » actif plus viable lorsque les corrélations sont élevées.
4. Portefeuilles mélangés : Pour les valeurs intermédiaires de $\alpha$ (portefeuilles mélangés), les prix de portefeuille simulés sont généralement inférieurs à ceux des portefeuilles purs ($\alpha=0$ ou $1$), et le risque (écart-type) est plus élevé lorsque la proportion de l'actif négocié est faible.

Portée et affirmations
L'article prétend fournir un cadre quantitatif pour les gestionnaires financiers afin de décider s'ils doivent couvrir un portefeuille en utilisant un actif corrélé moins cher plutôt que l'actif sous-jacent exact lorsque les coûts de transaction sont un facteur.

• Insight managérial : Les auteurs affirment qu'un gestionnaire de portefeuille peut potentiellement réaliser des rendements plus élevés en négociant un actif corrélé « mauvais » mais moins cher, à condition que la corrélation soit suffisamment élevée et que les coûts de transaction sur le « bon » actif soient prohibitifs.
• Seuils décisionnels : L'étude fournit une matrice de décision (résumée dans le tableau 3.6) indiquant quand négocier le mauvais actif, le bon actif, ou aucun des deux, en fonction de l'interaction entre $\rho$, $\lambda$ et les coûts de transaction.
• Limites : Les auteurs notent modestement que leurs conclusions sont basées sur des données simulées utilisant le gBm et des modèles spécifiques de coûts de transaction. Ils suggèrent que l'efficacité de la stratégie repose fortement sur l'hypothèse selon laquelle le « mauvais » actif est moins cher à négocier et hautement corrélé. L'article ne prétend pas éliminer le risque, mais plutôt le gérer de manière plus rentable dans des marchés frictionnels.

En conclusion, l'étude démontre que dans des marchés avec coûts de transaction, l'adhésion rigide à la couverture de l'actif sous-jacent exact n'est pas toujours optimale. Dans des conditions de forte corrélation et de coûts de transaction disparates, substituer l'instrument de couverture par un actif moins cher et corrélé peut être une stratégie rationnelle ajustée au risque.