Note on the positivity of the real part of the log-derivative of the Riemann $ξ$-function near the critical line

Résumé Technique : Positivité de la partie réelle de la dérivée logarithmique de la fonction $\xi$ de Riemann

Énoncé du Problème
L'article étudie le comportement de la partie réelle de la dérivée logarithmique de la fonction $\xi$ de Riemann, notée $\Re \frac{\xi'}{\xi}(s)$, dans la bande critique $0 < \sigma < 1$. Plus précisément, les auteurs se concentrent sur la région immédiatement à droite de la droite critique, définie par $1/2 + 1/\sqrt{\log t} < \sigma < 1$ pour un $t$ suffisamment grand.

Bien qu'il soit connu que $\Re \frac{\xi'}{\xi}(s) > 0$ pour $\sigma > 1$ et que l'Hypothèse de Riemann (HR) est équivalente à cette positivité pour tout $\sigma > 1/2$, le comportement dans la bande $1/2 < \sigma < 1$ reste un sujet d'étude. Les travaux précédents de Goldstein et A.G. [5] ont établi une borne inférieure pour la somme sur les zéros sur la droite critique, mais cette borne tendait vers zéro lorsque $\sigma \to 1/2$. L'objectif principal de ce travail est d'améliorer cette borne inférieure pour obtenir une valeur qui croît indéfiniment lorsque $\sigma \to 1/2$, fournissant ainsi une condition plus forte pour la positivité au voisinage de la droite critique.

Méthodologie
Les auteurs emploient des techniques de la théorie analytique des nombres, s'appuyant principalement sur la représentation par produit infini de la fonction $\xi$ et des méthodes de sommation partielle.

1. Expansion de la dérivée logarithmique : L'étude utilise l'expansion $\frac{\xi'}{\xi}(s) = \sum_{\rho} \frac{1}{s-\rho}$, où la somme porte sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, et la partie réelle de cette somme est décomposée en contributions des zéros sur la droite critique ($\rho = 1/2 + i\gamma$) et des zéros hypothétiques hors de la droite critique ($\tilde{\rho} = \tilde{\beta} + i\tilde{\gamma}$).
2. Sommation partielle et approximation intégrale : Pour estimer la somme sur les zéros de la droite critique, les auteurs utilisent la sommation partielle (Lemme 2) combinée à des bornes explicites pour la fonction de comptage des zéros $N(T)$ (Lemme 3).
3. Estimation d'intégrales : Une partie importante du travail technique consiste à dériver des bornes inférieures explicites pour des intégrales de la forme $\int \frac{\log u}{a^2(t) + b^2(t)(u-t)^2} du$. Le Lemme 5 fournit une borne inférieure rigoureuse pour ces intégrales, qui sont utilisées pour approximer les sommes discrètes sur les zéros.
4. Gestion des zéros hypothétiques : L'article analyse les scénarios où l'HR échoue en considérant la contribution des zéros hors de la droite critique. Le Lemme 9 fournit une borne supérieure pour la somme des inverses des carrés des distances aux zéros hypothétiques, garantissant que leur contribution ne supplante pas la contribution positive des zéros de la droite critique dans la région spécifiée.

Principales Contributions et Résultats

• Borne Inférieure Améliorée (Théorème 6) : Le résultat central est le Théorème 6, qui établit une nouvelle borne inférieure explicite pour la partie réelle de la somme sur les zéros de la droite critique. Pour $1/2 + 1/\sqrt{\log t} < \sigma < 1$ et $t > 3,11 \times 10^{10}$, les auteurs prouvent :
  $$0 < (0,28 - \epsilon(t))c \frac{1}{\sigma - 1/2} < \Re \sum_{\rho=1/2+i\gamma} \frac{1}{s-\rho}$$
  Ici, $c$ représente la densité inférieure des zéros sur la droite critique ($c = \liminf N_{1/2}(T)/N(T)$), et $\epsilon(t)$ est une fonction s'annulant comme $\frac{\log \log t}{\log t}$. Contrairement aux bornes précédentes, cette expression diverge lorsque $\sigma \to 1/2$, offrant une contrainte plus forte.

• Analyse des scénarios d'échec de l'HR : La section 4 examine la positivité de $\Re \frac{\xi'}{\xi}(s)$ sous l'hypothèse que l'HR est fausse. Les auteurs considèrent trois cas :

  1. Un seul zéro hors de la droite critique.
  2. Un nombre fini de zéros hors de la droite critique.
  3. Une infinité de zéros hors de la droite critique.
     Dans tous les cas, les auteurs démontrent que $\Re \frac{\xi'}{\xi}(s)$ reste positif dans la région $1/2 + 1/\sqrt{\log t} < \sigma < 1$, sauf potentiellement dans de petits voisinages entourant les zéros non triviaux hypothétiques. La contribution positive des zéros de la droite critique (mise à l'échelle par $c$) domine les contributions négatives des zéros hors ligne dans la région spécifiée.

• Vérification Numérique : Les auteurs utilisent la base de données d'Odlyzko [12] pour visualiser la région où l'inégalité est vérifiée, confirmant les bornes théoriques pour des valeurs spécifiques et grandes de $t$ (par exemple, $t \approx 2,68 \times 10^{11}$).

Signification et Revendications
L'article prétend affiner la compréhension de la dérivée logarithmique de la fonction $\xi$ près de la droite critique. En obtenant une borne inférieure qui croît lorsque $\sigma \to 1/2$, ce travail renforce les preuves de la positivité de $\Re \frac{\xi'}{\xi}(s)$ dans la bande critique, même sans supposer que l'Hypothèse de Riemann est vraie.

Les auteurs présentent modestement leur contribution comme une amélioration des résultats de Goldstein et A.G. [5]. Ils ne prétendent pas prouver l'Hypothèse de Riemann ; ils montrent plutôt que, si l'HR échoue, la « région de positivité » de la dérivée logarithmique est robuste, persistant près de la droite critique sauf dans le voisinage immédiat des contre-exemples hypothétiques. Le travail fournit des bornes explicites et calculables qui dépendent de la densité des zéros de la droite critique ($c$) et de la magnitude de $t$.