Deformation theory of parabolic representation pairs

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la théorie de la déformation des représentations du groupe fondamental d'une surface de Riemann punctuée $X = \bar{X} \setminus D$ à valeurs dans un groupe algébrique complexe $G = GL(r, \mathbb{C})$.

Le problème central réside dans les limitations des variétés de représentations paraboliques classiques (définies par des classes de conjugaison fixes $C_i$ pour les monodromies autour des points punctuels). Lorsque les monodromies ne sont pas génériques (par exemple, lorsqu'elles ont des valeurs propres multiples ou géométriquement dégénérées), la correspondance de Riemann-Hilbert peut contracter des familles de sous-variétés compactes vers des lieux singuliers, créant des phénomènes pathologiques. De plus, la construction des espaces de modules via la Théorie Géométrique des Invariants (GIT) classique échoue souvent car le groupe de jauge préservant les structures paraboliques relatives est souvent non réductif.

Les auteurs proposent de résoudre ces problèmes en introduisant la notion de paires de représentations paraboliques $(\rho, \mathcal{P})$, où $\rho$ est la représentation du groupe fondamental et $\mathcal{P}$ est une collection de sous-groupes paraboliques spécifiques dans lesquels les monodromies $\rho(\gamma_i)$ résident. Cette approche permet de « déplier » les singularités en gardant une trace explicite des sous-groupes paraboliques, restaurer les degrés de liberté perdus et éviter les contractions pathologiques.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant la géométrie algébrique, la théorie des déformations et la théorie de Hodge non abélienne :

• Définition des Variétés : Ils définissent la variété des paires de représentations paraboliques $PRP(r, d)$ et la variété de représentation relative $R(\Gamma, G; \mathcal{P})$ associée à un type parabolique fixe.
• Analyse Locale : Ils calculent les espaces tangents de Zariski et les cônes quadratiques tangents pour ces variétés en utilisant la cohomologie de groupes à coefficients dans l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, adaptée aux contraintes paraboliques.
• Correspondance de Riemann-Hilbert-Deligne (RHD) : Ils établissent une version « groupoïde » de la correspondance RHD entre les paires de représentations paraboliques et les fibrés plats logarithmiques paraboliques. Pour éliminer l'ambiguïté liée aux choix des angles d'argument des valeurs propres (extension canonique de Deligne), ils introduisent une notion d'équivalence RHD qui identifie les fibrés plats non isomorphes donnant lieu au même système local filtré.
• Algèbres de Lie Différentielles Graduées (DGLA) : Ils utilisent la théorie de Deligne-Goldman-Millson pour décrire les foncteurs de déformation via des DGLA. Ils construisent des complexes de de Rham paraboliques et des résolutions acycliques pour associer une DGLA à un fibré plat logarithmique parabolique.
• Formalité Mixte : Ils introduisent la notion de « formalité mixte » pour les DGLA, inspirée des structures de Hodge mixtes, pour contourner l'absence de théorie de Hodge suffisante dans le cas quasi-projectif.
• Théorie des Représentations de Quivers : Pour construire l'espace de modules global, ils traduisent le problème en celui des représentations d'un quiver en forme d'étoile avec boucles, permettant l'application de la GIT non réductive via des poids.

3. Contributions et Résultats Clés

A. Géométrie Locale et Déformations

• Théorème 1.1 : Les auteurs décrivent explicitement l'espace tangent de Zariski et le cône quadratique tangent de la variété $PRP(r, d)$ en un point $(\rho, \mathcal{P})$. La dimension complexe de l'espace tangent est $r^2(2g + n - 1)$. Les équations définissant le cône quadratique impliquent des conditions de cocycles et de cobords modifiées par les sous-groupes paraboliques.
• Correspondance RHD-Groupoïde (Théorème 1.2) : Ils prouvent que le germe analytique de la variété de paires de représentations est pro-représenté par un foncteur associé à un groupoïde de fibrés plats logarithmiques paraboliques, en utilisant l'équivalence RHD pour gérer les ambiguïtés de l'extension de Deligne.

B. Théorie de Déformation et DGLA

• Description DGLA (Théorème 1.3) : Le foncteur de déformation des paires de représentations paraboliques est isomorphe au foncteur de déformation associé à une DGLA spécifique $\Gamma(\bar{X}, \mathcal{A}(E,F,\nabla))$ construite à partir du complexe de de Rham parabolique.
• Formalité Mixte (Théorème 1.4) : Sous des hypothèses de stabilité (stabilité de Jordan) et de résidus semi-simples réels, ils démontrent que la DGLA contrôlant la déformation est mixtement formelle. Cela signifie qu'elle contient un sous-DGLA formel et que son quotient est quasi-isomorphe à un DGLA formel avec des crochets de Lie non triviaux. Ce résultat généralise les travaux de Goldman-Millson au cas parabolique.

C. Espaces de Modules et Théorème de Kobayashi-Hitchin

• Construction de l'Espace de Modules (Section 5) : Puisque la GIT classique échoue pour les groupes non réductifs, les auteurs construisent l'espace de modules des paires de représentations paraboliques pondérées en les identifiant aux représentations d'un quiver spécifique. La monotonie des vecteurs de poids est cruciale pour assurer la coïncidence entre la stabilité des paires et celle des représentations du quiver.
• Théorème de Kobayashi-Hitchin (Théorème 1.5) : Ils établissent un théorème de type Kobayashi-Hitchin : une paire de représentation parabolique est polystable par rapport à un système de poids $w$ si et seulement s'il existe une métrique hermitienne $w$-bonne $h$ satisfaisant un système d'équations différentielles (équations de type Hitchin-Kobayashi) impliquant les commutateurs des monodromies et les projections orthogonales sur les sous-espaces de la filtration.

4. Signification et Impact

Ce travail apporte plusieurs avancées significatives :

1. Résolution des Singularités : En introduisant les paires de représentations, l'article résout les problèmes de dégénérescence de la correspondance de Riemann-Hilbert dans le cas non générique, offrant un cadre plus robuste pour l'étude des systèmes locaux filtrés.
2. Extension de la Théorie de Déformation : L'introduction de la « formalité mixte » pour les DGLA dans le contexte parabolique ouvre de nouvelles voies pour l'analyse des structures de Hodge mixtes sur les variétés quasi-projectives, là où la théorie de Hodge classique est insuffisante.
3. Unification des Approches : Le papier relie de manière cohérente la théorie des représentations, la géométrie des fibrés plats logarithmiques, la théorie des quivers et la théorie de Hodge non abélienne.
4. Généralisation : Le théorème de Kobayashi-Hitchin obtenu généralise les résultats de Totaro sur les espaces vectoriels filtrés polystables et s'inscrit dans le programme plus large de la correspondance de Simpson pour les variétés non compactes.

En résumé, cet article fournit un cadre théorique complet et rigoureux pour l'étude des déformations et des espaces de modules des représentations paraboliques, en surmontant les obstacles techniques liés aux groupes de jauge non réductifs et aux singularités des variétés de caractères classiques.