Distribution of mixed character sums and extremal problems for Littlewood polynomials

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'étude asymptotique des sommes de caractères mixtes définies par :
$$S(\chi, x, \theta) = \sum_{n \le x} \chi(n) e(n\theta)$$
où $\chi$ est un caractère de Dirichlet (multiplicatif) modulo $q$, et $e(x) = e^{2\pi i x}$ est le caractère additif.

Les auteurs abordent deux problèmes fondamentaux :

1. Distribution des sommes : Comprendre la distribution de $S(\chi, x, \theta)$ lorsque le caractère $\chi$ varie aléatoirement (pour un $\theta$ fixe) ou lorsque $\theta$ est choisi aléatoirement (pour un caractère fixe, notamment quadratique).
2. Problèmes extrémaux pour les polynômes de Littlewood : Utiliser ces résultats distributionnels pour construire des polynômes de Littlewood (coefficients $\pm 1$) ayant des propriétés extremales, notamment en ce qui concerne la mesure de Mahler et les normes $L_p$.

Le cadre d'étude se concentre sur la limite où $q \to \infty$ (sur les nombres premiers) avec une longueur de somme $x \approx \beta q$ (où $\beta$ est fixe), généralisant ainsi les polynômes de Fekete et de Turyn.

2. Méthodologie

La démarche des auteurs repose sur une approche probabiliste combinant l'analyse harmonique et la théorie des nombres :

• Formule de Poisson Quantitative : L'outil central est l'application d'une formule de sommation de Poisson (avec un caractère tordu) pour transformer les sommes exponentielles partielles en séries conditionnellement convergentes. Cela permet d'exprimer la somme normalisée $F_{k,\chi,\alpha,\beta}(t)$ sous la forme d'une série dépendant de $\chi(k-l)$.
• Processus Stochastiques Limites :
  • Pour un caractère aléatoire, les auteurs montrent que la somme se comporte asymptotiquement comme un processus stochastique $F_{k,\alpha,\beta}(t)$ impliquant des variables de Steinhaus (variables aléatoires multiplicatives complexes).
  • Pour un caractère quadratique fixe et un décalage aléatoire, le processus limite $G_{\alpha,\beta}(t)$ fait intervenir des variables de Rademacher (valeurs $\pm 1$).
• Convergence en Loi : Ils utilisent le théorème de Prokhorov pour établir la convergence faible des processus discrets vers des processus continus dans l'espace $C[0,1]$. Cela nécessite de vérifier la tension (tightness) et la convergence des moments finis.
• Gestion de l'Intégrabilité Logarithmique (Log-Integrability) : C'est l'apport technique majeur. La fonctionnelle $f \mapsto \int \log|f(t)| dt$ n'est pas continue sur $C[0,1]$, ce qui empêche l'application directe des résultats de convergence en loi pour calculer la mesure de Mahler. Les auteurs développent une méthode générale pour contourner ce problème en :
  1. Régularisant la fonctionnelle (troncature près de zéro).
  2. Prouvant des bornes uniformes sur les intégrales logarithmiques des fonctions proches de zéro via des opérateurs différentiels linéaires (Proposition 1 et Lemmes 8-9). Ils montrent que si un opérateur différentiel $\Delta$ appliqué à $f$ est borné en dessous, alors la mesure de l'ensemble où $|f| < \varepsilon$ est petite ($O(\varepsilon^{1/k})$).

3. Résultats Principaux

A. Résultats Distributionnels (Théorèmes 1 et 2)

• Théorème 1 : Pour un caractère aléatoire, le processus normalisé des sommes de caractères mixtes converge en loi vers un processus gaussien complexe (ou Steinhaus) $F_{k,\alpha,\beta}$ ou $F_{\alpha,\beta}$ selon que l'indice de décalage $k$ est fixe ou tend vers l'infini.
• Théorème 2 : Pour un caractère quadratique fixe et un décalage aléatoire, le processus converge vers un processus $G_{\alpha,\beta}$ impliquant des variables de Rademacher indépendantes.
• Ces résultats répondent à des questions ouvertes posées par Wang et Xu concernant la taille typique de ces sommes pour des $\theta$ irrationnels.

B. Problème de Mahler et Polynômes de Littlewood (Théorème 3 et Corollaire 2)

Les auteurs appliquent leurs résultats pour construire des polynômes de Littlewood de haut degré avec une mesure de Mahler normalisée exceptionnellement élevée.

• Résultat : Ils établissent l'existence de polynômes de Littlewood dont la mesure de Mahler normalisée $M_0(P_n)/\sqrt{n}$ dépasse 0.954.
• Signification : Cela bat le précédent record de Mossinghoff (0.951) et s'approche de la borne supérieure conjecturée de 1. La construction repose sur des polynômes de type Turyn généralisés avec des paramètres optimaux $\alpha \approx 0.2$ et $\beta \approx 1.1$.
• Ils montrent également que pour ces polynômes, le facteur de mérite (merit factor) et la mesure de Mahler ne sont pas maximisés aux mêmes paramètres, contrairement à ce que l'on pourrait penser.

C. Conjecture de Günther-Schmidt (Théorème 4)

• Les auteurs confirment la conjecture de Günther et Schmidt (2017) selon laquelle les normes $L_{2k}$ des polynômes de Turyn sont asymptotiquement minimisées lorsque le décalage $\alpha = 1/4$, pour tout entier $k \ge 2$.
• Cela implique que les polynômes de Turyn avec $\alpha = 1/4$ sont "plats" (flat), expliquant pourquoi ils offrent de bonnes mesures de Mahler.

D. Norme $L_1$ (Problème de Newman)

• Ils améliorent légèrement la borne inférieure connue pour le rapport $\|P_n\|_1 / \sqrt{n}$, passant de $0.9775$à **$0.9783$** en utilisant des polynômes de Turyn généralisés.

4. Contributions Techniques Clés

1. Nouvelle approche de l'intégrabilité logarithmique : La preuve de la Proposition 1 (bornes sur $\int \log|f| \mathbb{1}_{|f|<\varepsilon}$) est un résultat indépendant de grande valeur. Elle permet de traiter des séries dont les dérivées ne convergent pas absolument (contrairement aux cas classiques des polynômes de Fekete), ce qui était un obstacle majeur pour l'application des méthodes probabilistes à la mesure de Mahler.
2. Élimination des sous-ensembles de densité nulle : Pour certains régimes de paramètres (quand $k$ croît avec $q$), les auteurs doivent exclure un ensemble de densité nulle de nombres premiers pour assurer la convergence des moments. Ils utilisent des lemmes combinatoires sur les racines de polynômes modulo $q$ (Lemmes 6 et 7) pour justifier cette exclusion.
3. Unification des méthodes : L'article relie de manière élégante l'analyse des sommes de caractères incomplets, la théorie des processus stochastiques et les problèmes d'optimisation de polynômes.

5. Signification et Impact

Ce travail représente une avancée majeure dans la théorie analytique des nombres et l'analyse combinatoire :

• Il résout des conjectures ouvertes sur la distribution des sommes de caractères mixtes.
• Il repousse les limites connues pour les problèmes extrémaux de Littlewood (Mahler et Newman), démontrant que les polynômes "ultra-plats" (conjecture de Littlewood) ne sont peut-être pas nécessaires pour atteindre des mesures de Mahler très proches de 1, mais que des constructions probabilistes bien choisies suffisent.
• La méthode développée pour gérer l'intégrabilité logarithmique ouvre la voie à l'étude d'autres fonctionnelles non continues sur des processus stochastiques issus de la théorie des nombres.

En résumé, l'article démontre que l'approche probabiliste, couplée à des outils analytiques fins pour contrôler les singularités logarithmiques, est une puissance redoutable pour résoudre des problèmes d'optimisation polynomiale de longue date.